多様体の幾何構造の研究

流形几何结构的研究

• 批准号: 02640069
• 负责人: 市田 良輔
• 金额: $ 0.77万
• 依托单位: Yokohama City University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
• 财政年份: 1990
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1990 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-02640069/
• 关键词: リ-マン多様体; 曲率; 単射半径; 極小部分多様体; 基本群

本研究の目的は非負リッチ曲率をもつ連結,完備なリ-マン多様体の幾何構造の研究を行うことであった。Mを非負リッチ曲率をもつ連結,完備なリ-マン多様体とする。Mの連結,コンパクト部分多様体N(一点でもよい)に対し,ある幾何学的量β_Nを導入した。β_NはNのMにおける法指数写像の単射半径ι_N,1次元相対ホモトピ-類π_1(M,N)と密接な関係がある。Mがコンパクトで,Mのリッチ曲率が正,π_1(M,N)≠0ならば,不等式 ι_N≦β_Nが成立つ。等号が成立すれば,NのMにおけるcut locus C_Nは連結コンパクトなMの極小超曲面で,π_1(M,C_N)=0であり,MはNとC_Nの法円板束を接着した構造を持っていることが解る。Mの曲率(リッチ曲率,断面曲率)に制限を加えることによりβ_Nの評価が可能である。このβ_Nの評価を用いてMと定曲率空間の比較が可能となる。以下,Mは単連結でない連結コンパクトなリ-マン多様体で,その断面曲率K_Mは条件:K_M≧1をみたとする。NをMの連結コンパクトな部分多様体とする。Nが一点のとき,β_N≦π/2である。このことから,ι_N≦π/2で等号成立はMが実射影空間(定曲率1)のときであることが解る。Nの次元が1以上の場合についてはβ_Nの取り得る値の中でπ/4に注目し,以下に述べる新しい結果を得た:準同型写像ι_#:π_1(N)→π_1(M)に対し,G=ι_#(π_1(N))とおく。Gがπ_1(M)の固有な正規部分群であるとき,不等式ι_N≦π/4が成立する。等号が成立するのは,2dimN≦dimMー1のときである。又,2dimN=dimMー1ならば,Mは定曲率空間となり,NはMにおける全測地的部分多様体である。又,C_NはMの極小超曲面,π_1(M,C_N)=0,π_1(M)/G=〓Z^2である。本研究については,まだ多くの興味ある問題が残されているので,更に研究を進める予定である。本研究で得られた結果は,近い内にまとめられ学術雑誌に投稿される。

The purpose of this study is to complete the <s:1> geometric construction <e:1> research of なリ- <e:1> polymorphic bodies through <s:1> non-negative リッチ curvature を を とであった connection. Mを non-negative リッチ curvature を を を connection, complete なリ- リッチ <s:1> multibody とする. M の links, コ ン パ ク ト many others body N (a little で も よ い) に し, seaborne あ る geometry of beta _N を import し た. Beta _N は N の M に お け る method of index to write like の 単 beam radius ι _N, 1 dimensional phase ホ seaborne モ ト ピ - class PI _1 (M, N) と contact な masato is が あ る. The curvature of Mがコ パ パ トで トで トで is が positive,π_1(M,N)≠0ならば, and the inequality ι_N ≤ β_Nが holds がコ. Founded the equals sign が す れ ば, N の M に お け る cut locus C_N は link コ ン パ ク ト な M の minimal hypersurface で, PI _1 (M, C_N) = 0 で あ り, M は N と C_N の method has drifted back towards &yen; plate beam を then し た tectonic を hold っ て い る こ と る が solution. M <s:1> curvature (リッチ curvature, section curvature)に limit を plus える 価が とによ である β_N <s:1> evaluation 価が possible である. <s:1> <s:1> β_N <s:1> evaluation 価を using 価を てMと to define the curvature space <s:1> comparison が may となる. Link below, M は 単 で な い link コ ン パ ク ト な リ - マ ン で others body, more そ の cross-section curvature K_M は conditions: K_M ≧ 1 を み た と す る. NをM <s:1> linked コ パ パ トな トな partial polymorpha とする. Nが a bit of と と,β_N ≤ π/2である. The equations と と ら,ι_N ≤ π/2で hold that the <s:1> Mが real projective space (with a definite curvature of 1) <s:1> と である である とが とが とが る solution る. N の yuan が 1 more の occasions に つ い て は beta _N の take り must る numerical の で PI / 4 に attention し, in the following に above べ る new し い results を た : quasi same type write like # ι _ : PI _1 (N) - > PI _1 (M) に し seaborne, G = # ι _ (PI _1 (N)) と お く. Gがπ_1(M) <s:1> has an inherent な normal part group であると が, and the inequality ι_N ≤ π/4が holds する. The equal sign が holds that する が する,2dimN ≤ dimM と, 1 <s:1> と と である である. Also,2dimN=dimM ならば 1ならば,M fixed-curvature space とな,N Mにおける partial multiform である of the entire geodesy. Also,C_N である M is a <s:1> minimal hypersurface,π_1(M,C_N)=0,π_1(M)/G=〓Z^2である. This study に つ い て は, ま だ more く の tumblers あ る problem が residual さ れ て い る の で, study を into more に め る designated で あ る. This study で obtained られた results で, which were recently submitted to される in にまとめられ academic 雑 journals に.