発展方程式の統計解

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1.統計解の研究非線型波動方程式 v=u',v'ー△u+|u|^fu+u=fを〓^uの任意の領域Ωで考える。ここでP>0,f〓L^2([O,T]×Ω)とする。H^^°^1〓L^P【○!+】L^2(P=P+2)上の確率測度μで“平均エネルギ-"有限即ち,〓H(u_0,v_0)dμ(u_0,v_0)<∞,H(u_0,v_0)=1/2(||u_0||^^2H_1+||v_0||^^2+1/P||u_0||^PL^P)を与えたとき,Z=C(0,T:L^2【○!+】H_<ー1>+L^<P'>)〓L^<Pー1>(0,T;L^2〓L^<Pー1>【○!+】H_<ー1>)上のボレル測度P,P(2)=1(ここで1/P+1/P'=1)で1ﾟZのボレル集合WでP(W)=1かつWの元はすべて上記方程式の弱解である。2ﾟγ_0P=M,但しγ_0はu→u(0)で定まる写像3ﾟ(エネルギ-不等式) あるC>0が存在して〓(||u||^2L^∞(0,T;H^^ﾟ_1〓L^P)+||v||^2L^∞(0,T;L^2)+||u||^PL^∞10,T;L^P)+||v'||L^2(0,T;H_<ー1>+L^<P'>))dP【less than or equal】C〓(1+H(u_0,v_0))dμとなるもの(μを初期値とする統計解)が構成できた。またf=0の場合には上のZの代りにC(ー∞,∞:H_<ー1>+L^<P'>【○!+】L^2)〓L^<Pー1>_<COC>(ー∞,∞:L^2〓L^<Pー1>【○!+】H_<ー1>)を考えることにより(統計的)定常解,即ち時間のシフトで不変なものがえられる。2.研究分担者による関連した研究として菊地の静電磁場の方程式の有限要素法による解析,谷島の時間について周期的なシュレディンガ-方程式の準定常状態の指数函数的減すい,北田の多体問題に関する変動作用素の漸近的完備性(ポテンシアルがlongーraugeの場合とshortーraugeの場合),山本のある種の二階常微分方程式に関する逆問題,非線型放物型方程式の制御,抽象的発展方程式に関する同定問題,Feedback Systemの安定性,非消散双曲型方程式のFeedback安定化,などがある。