非線形偏微分方程式と力学系

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数理モデルに現われる非線形偏微分方程式の研究は,多くの研究者により近年活発に研究され,かなりの進展をみてきている。パタ-ン形成の研究と関連して,非線形偏微分方程式の解の時間と空間に関する挙動を調べることが重要である。そのさい,偏微分方程式の定常解,周期解および進行波解などの存在と安定性そしてその構造を調べることに重点がおかれる。本研究では,いくつかの具体的なモデル方程式を考察の対象としてきた。その一つは,神経パルスの伝播をモデルとした方程式である。FitzHughーNagumo方程式は,無髄神経での神経パルスの伝播を記述した方程式としてかなりの研究がなされている。一方,無髄神経での神経パルス方程式の研究はこれからの課題である。本研究で,無髄神経でのパルス方程式の定常解の存在するあるパラメ-タ域を求め,そのパラメ-タ域では神経パルスの伝播が起こりえないことを示した。二番目のモデル方程式は,アメ-バの凝集を記述した移流拡散方程式系である。この方程式系について,次の予想が未解決の問題として残っている。空間が二次元のとき,初期値の平均値がある値以下だと解は大域的に存在し,以上だと解の爆発が起こリえる。更に,三次元以上のときは,初期値の平均値の大きさにかかわらず解の爆発が起こりえる。本研究において,方程式がある特別の場合に肯定的解決を与えることが出来た。今後の課題としては,より一般の方程式の場合について解決することであり,そして定常解の大域的構造と発展方程式の解の爆発との関係を調べることである。その他の研究成果については,ここでは詳しく述べない。裏ペ-ジの論文リストを参照のこと。