環および余環の拡大の研究

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環拡大R⊃SとRー右加群Mについて,(T)M【cross product】_SR<【symmetry】M【symmetry】…【symmetry】Mなる条件を考える。End(M_R)=Q,End(M_S)=Pとすれば,(T)はM【cross product】_SR〓Hom( _QP, _QM)かつPはQー有限生成射影的と同値である。更にRがSー有限生成射影的ならHom( _QP, _QM)<【symmetry】M【symmetry】…【symmetry】Mが得られる。逆に環拡大P⊃QとPー左加群Mについて,(H)Hom( _QP, _QM)<【symmetry】M【symmetry】…【symmetry】Mなる条件を考える。End(_PM)=S^*,End( _QM)=R^*とすれば,(H)はHom( _QP, _QM)〓M【cross product】_<S^*>R^*かつR^*はS^*ー有限生成射影的と同値になる。更にPがQー有限生成射影的ならM【cross product】_<S^*>R^*<【symmetry】M【symmetry】…【symmetry】Mが成立つ。これらの結果を応用して,Hー分離拡大に関する管野の定理On bicommutators of modules over Hーseparable extension rings,Theorem4,北大数学誌20巻(1991)の別証が得られる。条件(T)および(H)は,それぞれ相対生成加群,相対余生成加群の考察を示唆する。即ち次の3条件(1)X,YをR右加群とする。Hom(X_R,Y_R)∋fに対しHom(M_S,X_S)∋h_Oが存在してh_O・f【double plus】0なら,Hom(H_R,X_R)∋hが存在してh・f【double plus】0。(2)【symmetry】M→M【cross product】_SR→0が完全。。(3)任意のR右加群XについてTrx_X(M_R)=Trx(M_S).が同値となる。このとき,MがS生成加群ならMはRー生成加群となる。また,次の3条件(1)X,YをP左加群とする.Hom( _PY, _PX)∋fに対しHom( _QX, _QM)∋h_Oが存在してf・h_O【double plus】0ならHom( _PX, _PM)∋hが存在してf・h【double plus】0。(2)0→Hom( _QP, _QM)→ΠMが完全。(3)任意のPー左加群XについてRejx( _PM)=Rejx( _QH)。このとき,MがQー余生成加群ならMはPー余生成加群となる。