多様体上の平均値定理

リ-マン多様体上に各点でその点を中心とする小さい半径の測地球面に対して幾何学的平均および拡散過程(プラウン運動)の確平平均が定義され、これら2つの平均量は線形微分作用素の系列が存在して、それを係数として測地表面の半径に関して級数展開出来る。特に、調和空間上では半径について2k次の係数がラプラス作用素の定数項をもたないk次の多項式で表わせることを示した。この性質に注目して、リ-マン多様体に対して,各点でその点を中心とする上の2つの平均量が,2k次までの係数が調和空間のように、ラプラス作用素の定数項をもたない多項式で漸近展開出来るとき、k次の平均値定理が成り立つと呼ぶ。幾何学的平均値定理および確率平均値定理あるいはそれらの変形が成り立つときのリ-マン多様体の幾何学的構造を調べた。前者は調和空間は局所対称空間であることを導くことを目的の一つとしている。後者は前者より弱い性質のため今までに知られていない空間のクラスを見いだし、新しい対象を提唱する。研究の成果を具体的に述べる。1.4次の幾何学的平均値定理あるいはその変形が成り立つという解析的性質により調和空間と超アインシュタイン空間の間にある空間を特徴づけた(超2ーシュタイン空間と呼ぶ)。特に、6次元以下の調和空間は簡明な曲率構造をもち,4次元の調和空間は局所平坦あるいは階数1の局所対称空間であることを示した。更に、2,3,4次の幾何学的平均値定理により特徴づけられるアインシュタイン空間、超アインシュタイン空間、超2ーシュタイン空間の系列はシュ-ア型性質をもつ系列であることを示した。2.4次の確率平均値定理あるいはその変形が成り立つという解析的性質により準超アインシュタイン空間を特徴づけ、この空間上で測地球の中心から出発したブラウン粒子が測地球から出て行く脱出時刻と脱出場所との漸近的独立性が成り立つことを示した。

リ-マン多様体上に各点でその点を中心とする小さい半径の測地球面に対して幾何学的平均および拡散過程(プラウン運動)の確平平均が定義され、これら2つの平均量は線形微分作用素の系列が存在して、それを係数として測地表面の半径に関して級数展開出来る。特に、調和空間上では半径について2k次の係数がラプラス作用素の定数項をもたないk次の多項式で表わせることを示した。この性質に注目して、リ-マン多様体に対して,各点でその点を中心とする上の2つの平均量が,2k次までの係数が調和空間のように、ラプラス作用素の定数項をもたない多項式で漸近展開出来るとき、k次の平均値定理が成り立つと呼ぶ。幾何学的平均値定理および確率平均値定理あるいはそれらの変形が成り立つときのリ-マン多様体の幾何学的構造を調べた。前者は調和空間は局所対称空間であることを導くことを目的の一つとしている。後者は前者より弱い性質のため今までに知られていない空間のクラスを見いだし、新しい対象を提唱する。研究の成果を具体的に述べる。1.4次の幾何学的平均値定理あるいはその変形が成り立つという解析的性質により調和空間と超アインシュタイン空間の間にある空間を特徴づけた(超2ーシュタイン空間と呼ぶ)。特に、6次元以下の調和空間は簡明な曲率構造をもち,4次元の調和空間は局所平坦あるいは階数1の局所対称空間であることを示した。更に、2,3,4次の幾何学的平均値定理により特徴づけられるアインシュタイン空間、超アインシュタイン空間、超2ーシュタイン空間の系列はシュ-ア型性質をもつ系列であることを示した。2.4次の確率平均値定理あるいはその変形が成り立つという解析的性質により準超アインシュタイン空間を特徴づけ、この空間上で測地球の中心から出発したブラウン粒子が測地球から出て行く脱出時刻と脱出場所との漸近的独立性が成り立つことを示した。