楕円曲線の数論的研究

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有理数体上定義された虚数乗法をもつ楕円曲線y^2=x^3-2^43^3D^2に双有理同値である曲線x^3-y^3=D(Dは有理整数)のモ-デル・ヴェイユ群の有限位数有理点を見つけるために,比較的小さいDに対してdiophantus的アルゴリズムを実行し,Stephensのランクに関するテ-ブルを考慮に入れて次の結果が得られた:Dを100以下の3乗フリ-な整数とするとき,楕円曲線x^3+y^3=D(D〉0)はD=3,4,5,10,11,14,18,21,23,25,29,36,38,39,41,44,45,46,47,52,55,57,59,60,66,73,74,76,77,82,83,93,95,99,100に対しては有理点をもたない。また,これに関連して,x^3+y^3=Dのト-ション部分群はD=1ならば,{(1,0),(0,1),∞},D=2ならば{(1,1),∞},D≠1,2ならば単位群になることが出てくるが,これらはFueterによる結果の別証明を与えている。以上は,Chowla,J.CowlesおよびM.Cowlesの結果の拡張にあたっている。さらに、楕円曲線の整数論の研究史を調べ、とくにモ-デル・ヴェイユ群に関する歴史的事項とそれに関する文献を調査し,リストアップした。上記のことは,パ-ソナル・コンピュ-タで多くの数値実験を行った上で理論的に示されたが,別の大きいDおよび他の虚数乗法をもつ楕円曲線y^2=x(x^2+p)についても,同様に数値実験をして,モ-デル・ヴェイユ群の構造をとくに有限位数の有理点についての現在研究中である。