関数解析の超準解析的研究

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(1)n個の実変数の複素数値関数の集合をMap(R^2,C)と表す。R^+={YER;Y<O},F={(O,Y):YER^+}とし,Fを含む超フィルタ-(ultrafilter)の一つをFとする。KをRまたはCまたはMap(R^n,C)とし ^<n*>Rを次のように定義する。 ^<n*R>=Π(y_1,…,y_n)K/F^n^<n*>Rの元[x(y_1,…,y_m)]の元を超実数(hypetreal numbex)という。このとき,RC^*R…C^<(nー1)*>RC^<n+>Rc…,が成立する。しかも超実数を用いた距離を測ることにすれば, ^<n+>R(n=1,2,…)は距離空間となるのみならず各 ^<(nー1)*>Rは ^<n*>R(n=1,2,…)の中でdiscreteになることを証明することができた。これは重要な成果といってよいであろう。(2)超関数論(theory of hyperfunctions)の研究者が楔と呼ぶ領域R^ntiR^+x…xR^*は超準解析(norstandaxd analysis)の観点で見ると超実数の集合となっている。楔R^n+iR^+x…xR^+で定義される正則関数によって超関数が定まる。このことは超関数と一般関数(generalized functions, ^<n*>Map(R^<12>,C)の元)の関連的研究の有効性を示唆しているものと考えられる。(3)超実数はR^+x…xR^+で定義される実数値関数の同値類である。従って超実数は曲面的構造をもつものと考えられる。すなわち実数は点と考えられるのに対して,超実数は構造をもちその構造は曲面的であるということができる。これは興味ある事実といえよう。(4)次に超関数と一般関数の関連を示す例をあげる。超関数1/(x_1+io)^x…x1/(xm+io)は領域R^n+iR^+x…xR^+で定義される正測関数1/Z_1x…x1/znの境界値と考えられる。これを一般関数の観点で見ると次のようになる。[1/(x1+iy_1)x…x1/(xm+iyn)]=[(x_1ーiy_1)/(x1^2+y^12)]x…x[(xmーiym)/xn^2+yn^2)]