2階楕円型方程式の正値解の構造

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1.2階線形楕円型方程式の正値解全体の基礎的抽象構造はMartin理論によって捉えられる。即ち無限次元関数空間の中に構成されたMartin境界上でのMartin核の積分により任意の正値解を一意に表現できる。しかしながら具体的に与えられた微分方程式と領域からMartin境界とMartin核を具体的に構成するのは非常に困難な問題であり、ほとんど未解決状態にある。本研究はユ-クリッド空間上のScrodinger方程式の正値解およびノンコンパクトRiemann多様体上の正値調和関数の構造を具体的に決定する目的で逐行した。2.今年度以下の(1)および(2)の成果が得られた。(1)回転対称なノンコンパクトRiemann多様体上の正値解の構造を動径曲率によって決定した。(2)Schrodinger作用素がテンソル積構造を持つ場合、その積構造が極小Martin核に遺伝するための十分条件を対応する放物型方程式に対する一様制限Harnack不等式によって与えた。3.上記2.(2)に関してSchrodinger放物型方程式に対する初期値問題の非負解が一意であるための必要十分条件が得られた。この結果発表のための論文を現在準備中である。