有限群のモジュラー表現とコホモロジー理論

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係数体が正標数である有限群のモジュラー表現において、有限生成KG-加群Mに対するコホモロジー環Ext^*_<KG>(M,M)の極大イデアルに関する以下の結果を得た(Kは係数体、Gは有限群)。1.Kが代数的閉体のとき、Ext^*_<KG>(M,M)の任意の極大イデアルIに対し、或るcyclic shifted部分群UとExt^*_<KG>(M,M)の或る極大イデアルJが存在して、Iはres^<-1>_<G,U>(J)を含む。2.単純Ext^*_<KG>(M,M)-加群のK上の次元はMの次元以下である。1は自明な加群Kに対するコホモロジー環の極大イデアルに関する性質を一般化させたもので、既に庭崎により証明されているCarlsonの予想を更に拡張した命題である。本研究ではCarlsonの予想の証明と同様の方法で証明した。2はPI環の理論を用いたCarlsonの研究により、単純加群の有限次元性だけが知られていた命題である。本研究では以下の様な圈論的な手法を用いることにより、2の形に一般化させて証明した。即ちExtを圈論的に関手として捉らえ、GreenがHom関手について用いた方法を拡張し、関手Extのイデアル部分関手やJacobson根基を定義・記述し、1の結果からcyclic shifted部分群を経由させて2の証明を得た。またスペクトル系列を用いない幾つかの手法を一般化させることも試みた。特にRinehartにより存在だけが抽象的に証明されている、群の拡大に対するコホモロジーの間の或る種の長い完全系列をスペクトル系列を用いずに具体的に叙述し直そうとしているが、現在のところまだ有効な結果には達していない。