位相群の次元と自由位相群の位相的構造の研究

今年、ロシアの政治的情勢によりモスクワ大学のグループのメンバーのうち2名が日本を訪れ研究をしているが、彼らとの討論や情報交換により自由位相群の位相的構造について大きな成果が得られた。例えば、収束点列を組み合わせた空間から生成された自由可換位相群の位相的構造について調べていたが、コンパクト性の持っているいくつかの重要な性質の一つであるk-prpertyと第1可算性を一般化した重要な性質であるtightnessについていくつかの結果が得られた。これらの結果により、収束点列の組み合わせ方によって、位相的構造を調べる際にテスト空間となりうる0次元の位相可換群が構成された。これらの結果は現在のところ、自由可換位相群のみの場合であって、非可換な自由位相群に関してはよくわかっていない。今後は、一般の非可換な自由位相群についてその位相的構造を明らかにすることを目的としている。一方、次元に関しては、次の問題を考えていた。Euclidean n-dimensional space R^n(n≧2)の2点以上からなる部分空間をXとする。Xの任意の異なる2点x.yに対して、これらの2点から等距離にあるXの点の集合M(x,y)が(n-2)-sphereと同相となるときXは(n-1)-sphereと同相になるか?この問題は古くから出され、現在もなお解かれていないが、今年になって次の部分解が得られた。つまり、n≧3でXがコンパクトのときM(x,y)が(n-1)-dimensional convex cellのboundaryとすると、Xはn-dimensional convex cellのboundaryとなる。面白いことに、n=2のときはこの結果も成立しない例も得られた。これらの結果は上記の問題の困難さを改めて示したようであるが、それ故ますます、興味ある問題に思われる。

今年、ロシアの政治的情勢によりモスクワ大学のグループのメンバーのうち2名が日本を訪れ研究をしているが、彼らとの討論や情報交換により自由位相群の位相的構造について大きな成果が得られた。例えば、収束点列を組み合わせた空間から生成された自由可換位相群の位相的構造について調べていたが、コンパクト性の持っているいくつかの重要な性質の一つであるk-prpertyと第1可算性を一般化した重要な性質であるtightnessについていくつかの結果が得られた。これらの結果により、収束点列の組み合わせ方によって、位相的構造を調べる際にテスト空間となりうる0次元の位相可換群が構成された。これらの結果は現在のところ、自由可換位相群のみの場合であって、非可換な自由位相群に関してはよくわかっていない。今後は、一般の非可換な自由位相群についてその位相的構造を明らかにすることを目的としている。一方、次元に関しては、次の問題を考えていた。Euclidean n-dimensional space R^n(n≧2)の2点以上からなる部分空間をXとする。Xの任意の異なる2点x.yに対して、これらの2点から等距離にあるXの点の集合M(x,y)が(n-2)-sphereと同相となるときXは(n-1)-sphereと同相になるか?この問題は古くから出され、現在もなお解かれていないが、今年になって次の部分解が得られた。つまり、n≧3でXがコンパクトのときM(x,y)が(n-1)-dimensional convex cellのboundaryとすると、Xはn-dimensional convex cellのboundaryとなる。面白いことに、n=2のときはこの結果も成立しない例も得られた。これらの結果は上記の問題の困難さを改めて示したようであるが、それ故ますます、興味ある問題に思われる。