双曲力学系及び非線型偏微分方程式

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Yamabe型の方程式の境界値問題について、それが定義される領域の幾何学的形状と解の存在との関連を調べた。この問題は領域が星形では解の非存在が、領域が位相的に自明でない場合は存在が知られていた。可縮でない領域からの摂動で得られる領域の場合に解の存在を示し、(DancerやDingの結果の別証、拡張)、さらにこの結果を用いて任意の領域に対し適当に摂動させれば、位相を変えないで解が存在できる領域が構成できるだろうと考えている。また、元の領域と摂動したそれとの関係をさらに詳しく調べたいと考えている。双曲型力学系は負曲率多様体の測地流等の例を含み、ある種の安定な性質をもち、有限グラフで近似できるなど良い性質を重要なクラスである。たとえば、素数定理の幾何学的類似が成り立つことが知られていた。また、更に以前砂田氏と共同で、Dirichletの算術級数定理の幾何学的類似を考察し単なる類似ではなく数論では扱われていない状況も含めた結果を得ていた。現在これらのnoncompactへの拡張等を調べている。グラフ上にラプラシアンに関する固有値問題の考察、特にEuclid空間上のFaber-Krahnの不等式の類似について結果を得た。証明法は対称化によるものではあるが、元来のものとは異なりグラフの特殊性をもちいる。以上とは別に、多様体上の磁場のある力学系についても調べている。