タイヒミュラー空間の研究とその応用

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尖点(puncture)や分岐点をもつ双曲的曲面のタイヒミュラー空間の実解析的理論を研究し、以下のような結果を得た。1.双曲幾何によって定まる量を座標糸に用いて、タイヒミュラー空間の実代数的超曲線としての具体的な表現をあたえた。尖点のみをもつ曲面のタイヒミュラー空間に関しては昨年度までに実代数的表現のための定義式をあたえていたが、それを分岐点をもつ、あるいは尖点と分岐点を両方もつような曲面に対しても定義式を計算して求めることができた。ただし、分岐点を含む曲面の場合のタイヒミュラー空間の表現は大変複雑であり、それを写像類群の研究などに応用することは今のところ困難であるように思える。そうした点を克服することが今後の課題といえる。2.古典的な測地線の長さを用いた座標系と上記1においてタイヒミュラー空間の実代数表現を得るために用いた座標系との関係を明らかにし、閉測地線の長さを用いた座標糸によってもタイヒミュラー空間の実代数的表現をあたえることが出来ることを示した。3.2における研究の副産物として、種数2の閉リーマン面のタイヒミュラー空間の大域的パラメトリゼーションをあたえるのに必要な閉測地線の長さによる座標の最小数が7であることの簡単な説明が出来る。このこと自体は一般の種数の場合も含めてP.Schmutzによって証明されているが、それに付け加えて7個の測地線をうまく選ぶことによつてそれらの長さでの座標糸を考えるとき、タイヒミュラー空間がやはり実代数的に表現できることもわかった。なお以上の研究はフィンランド・ヘルシンキ大学のMarjatta Naatanen氏と共同でおこなわれたものである。