ヒルベルト空間上の非有界作用素の超有限次元行列による表現の研究

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超有限次元行列環によるII_1型因子環の構成はすでに成功している。そこでIII型因子環の構成が問題になるが、Powers因子のIII型構成を見てみると、増大する行列環の作るC^*-環上に適当な状態4を考え、その4によるGNS-表現を考えている。この方法をまねてIII型因子が構成できるであろうと考えられているが、そこにはいくつかの難点があることが判明した。それはまず、超有限次元行列環(今これをMとする)上に適当な状態4を定めるのは実に容易に出来るが、その4により出来る零空間N_4={χ_tMl4(χ+χ)【similar or equal】0}が両側イデアルになるための必要十分条件が、4とトレース状態τが同値になるということであるという結果を得た。これは結局4が両側イデアルになるのは本質的にII_1型を構成する場合に限られることを意味しており、III型の場合はII_1型のように単純にいかないことがわかった。また、状態4がKMS状態であれば、Powers因子の場合と同様な議論が可能であるが、先の結果は実は4がKMS^4状態ではないということも示しているので、GNS表現を考える場合でも、従来にはなかった新しい方法論が必要となる。III型構成は比較的楽観視されていたが、このように、その陰にいくつもの困難のあることが判明した。しかし、難点がわかったことは大きな進歩であり、今後の研究の方向性を定める助けにもなった。