確率力学系の対称性とその応用

本研究の目的は、物理学、工学、生物学、経済学等、様々な分野において、何らかの不確定要因を内包する現象の数学モデルとして頻繁に用いられている確率微分方程式で記述される力学系、すなわち確率力学系における対称性理論の一般論を展開することであり、この方針に従って得られた具体的成果は以下の通りである。(1)確率力学系における保存量・対称性の概念を通常の力学系における定義に最も近い形、すなわち、確率微分方程式の解として与えられる確率過程の道に沿った意味で定式化し、それらを見いだす手続きを与えた。(2)確率系が許容する上述の意味での対称性を生成する無限小変換を扱い、それが陽に時間パラメータを含まないとき、その代数的構造が通常の力学系同様、リー環をなしていることがわかった。(3)1992年にHojimanらによって得られた、ラグランジアンやハミルトニアンを持たない力学系における系の対称性から保存量を導く手続きを確率系に拡張定式化した。これにより確率系の対称性から保存量を見いだすことが可能となり、その具体例も見いだした。(4)対称性の応用として、線形確率系の対称性を表すリー群の表現論に基づく系の分解・簡約化法の手続きならびにその例を与えた。(5)最近注目されている確率ロトカ・ボルテラ型力学系に代表される、いくつかの非線形可積分確率力学系において、対称性と保存量についての具体例を(1)、(2)に基づいて与えた。以上の得られた結果の一部は、すでにPhys.Lett.やJ.Phys.に発表され、それに基づいてさらに進められた、確率系の対称性・保存量とその応用に関する結果については、現在取りまとめ中である。

本研究の目的は、物理学、工学、生物学、経済学等、様々な分野において、何らかの不確定要因を内包する現象の数学モデルとして頻繁に用いられている確率微分方程式で記述される力学系、すなわち確率力学系における対称性理論の一般論を展開することであり、この方針に従って得られた具体的成果は以下の通りである。(1)確率力学系における保存量・対称性の概念を通常の力学系における定義に最も近い形、すなわち、確率微分方程式の解として与えられる確率過程の道に沿った意味で定式化し、それらを見いだす手続きを与えた。(2)確率系が許容する上述の意味での対称性を生成する無限小変換を扱い、それが陽に時間パラメータを含まないとき、その代数的構造が通常の力学系同様、リー環をなしていることがわかった。(3)1992年にHojimanらによって得られた、ラグランジアンやハミルトニアンを持たない力学系における系の対称性から保存量を導く手続きを確率系に拡張定式化した。これにより確率系の対称性から保存量を見いだすことが可能となり、その具体例も見いだした。(4)対称性の応用として、線形確率系の対称性を表すリー群の表現論に基づく系の分解・簡約化法の手続きならびにその例を与えた。(5)最近注目されている確率ロトカ・ボルテラ型力学系に代表される、いくつかの非線形可積分確率力学系において、対称性と保存量についての具体例を(1)、(2)に基づいて与えた。以上の得られた結果の一部は、すでにPhys.Lett.やJ.Phys.に発表され、それに基づいてさらに進められた、確率系の対称性・保存量とその応用に関する結果については、現在取りまとめ中である。