双曲的3次元多様体の錐変形とひねりアレクサンダー多項式

否コンパクト双曲的3次元多様体の錐変形におけて体積、直径、単射的半径といった幾何学的不変量がどのように変化するのかを調べるためのもっとも有効な方法はThurstonによって導入された理想的単体分割を用いる方法である。理想的単体分割された双曲的3次元多様体に対しては、基本群の双曲構造に関するホロノミー表現を計算することも比較的簡単にできる。ところが、一般の否コンパクト双曲的3次元多様体が理想的単体分割をもつかどうかは知られていない。今回の研究では、当初の研究目的とは少し方向性が違うが、有限体積非コンパクト双曲的3次元多様体に対する理想的単体分割の可能性について調べた。有限体積非コンパクト双曲的3次元多様体に対してはEpsteinとPennerによって理想的多面体分割の存在が証明されている。この研究では、n個の理想的多面体を張り合わせて得られる双曲的3次元多様体で、1〜n^-1番目の理想的多面体の各面がn番目の理想的多面体の面と同一視される場合には、その双曲的3次元多様体はn個の理想的多面体を細分することにより理想的単体分割が可能である。という結果が得られた。この結果はProc.of A.M.S.に発表される予定である。

否コンパクト双曲的3次元多様体の錐変形におけて体積、直径、単射的半径といった幾何学的不変量がどのように変化するのかを調べるためのもっとも有効な方法はThurstonによって導入された理想的単体分割を用いる方法である。理想的単体分割された双曲的3次元多様体に対しては、基本群の双曲構造に関するホロノミー表現を計算することも比較的簡単にできる。ところが、一般の否コンパクト双曲的3次元多様体が理想的単体分割をもつかどうかは知られていない。今回の研究では、当初の研究目的とは少し方向性が違うが、有限体積非コンパクト双曲的3次元多様体に対する理想的単体分割の可能性について調べた。有限体積非コンパクト双曲的3次元多様体に対してはEpsteinとPennerによって理想的多面体分割の存在が証明されている。この研究では、n個の理想的多面体を張り合わせて得られる双曲的3次元多様体で、1〜n^-1番目の理想的多面体の各面がn番目の理想的多面体の面と同一視される場合には、その双曲的3次元多様体はn個の理想的多面体を細分することにより理想的単体分割が可能である。という結果が得られた。この結果はProc.of A.M.S.に発表される予定である。