結び目に関連する群の表現

研究目的の1つは,結び目群の離散表現に付随したひねりアレクサンダー多項式が結び目の幾何学的性質をどのように反映しているかを調べることであった.それに関していくつかの結び目のSL(2,p)-表現を実際に求めてみて,それらに付随したひねりアレクサンダー多項式を計算したところ,古典的なアレクサンダー多項式やジョーンズ多項式などよりもかなり強力な結び目の不変量であることが判明した.特に,樹下-寺阪結び目とコンウェイの結び目の例でよく知られている互いにミュータントな結び目は古典的なアレクサンダー多項式やジョーンズ多項式では区別できないことが知られているが,それらの結び目もひねりアレクサンダー多項式を用いて区別できることがわかった.これに関して詳しくは「Twisted Alexander polynomial for finitely presentable groups」として発表予定である.一方,結び目群の有限群表現に関する計算実験を効率的に実行するために,結び目図式の計算機入力方法の研究を行った.その結果,結び目図式を文字列で表現する方法としてn-dataと呼ばれる結び目図式の表現形式を開発した.それについては論文「Coding link diagrams」に発表した.またn-dataを用いて結び目群の有限群表現に関する各種の計算機実験をおこなうために交点数10以下のすべての結び目および絡み目の図式のn-dataを作製した.現在それを用いたおおがかりな計算機実験を準備中で,その結果については将来発表する予定である.

研究目的の1つは,結び目群の離散表現に付随したひねりアレクサンダー多項式が結び目の幾何学的性質をどのように反映しているかを調べることであった.それに関していくつかの結び目のSL(2,p)-表現を実際に求めてみて,それらに付随したひねりアレクサンダー多項式を計算したところ,古典的なアレクサンダー多項式やジョーンズ多項式などよりもかなり強力な結び目の不変量であることが判明した.特に,樹下-寺阪結び目とコンウェイの結び目の例でよく知られている互いにミュータントな結び目は古典的なアレクサンダー多項式やジョーンズ多項式では区別できないことが知られているが,それらの結び目もひねりアレクサンダー多項式を用いて区別できることがわかった.これに関して詳しくは「Twisted Alexander polynomial for finitely presentable groups」として発表予定である.一方,結び目群の有限群表現に関する計算実験を効率的に実行するために,結び目図式の計算機入力方法の研究を行った.その結果,結び目図式を文字列で表現する方法としてn-dataと呼ばれる結び目図式の表現形式を開発した.それについては論文「Coding link diagrams」に発表した.またn-dataを用いて結び目群の有限群表現に関する各種の計算機実験をおこなうために交点数10以下のすべての結び目および絡み目の図式のn-dataを作製した.現在それを用いたおおがかりな計算機実験を準備中で,その結果については将来発表する予定である.