Fourier解析と摂動論の方法による偏微分方程式の研究

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今年度は、全空間及び外部領域におけるNavier-Stokes方程式の解を、通常用いられるL^p-空間より広い空間において求める問題を考察し、以下の結果を得た。まずすでに考察した、外力がない場合の全空間における解をMorrey空間やBesoy空間より広い、新しい函数空間において求める問題を外力がある場合まで含めて考察した結果、空間次元が3以上の時に、あるMorrey空間に属する小さい定常解が存在するための、時間に依存しない外力に対する十分条件を求め、更にその定常解がMorrev空間及び以前に導入したより広い函数空間において安定であることを証明した。その際に有界解析的半群の摂動論を、半群の生成作用素の定義域が半群の作用している函数空間内で稠密でない場合まで拡張する必要があった。次に対応する問題を、より一般的な、有界な障害物を除いた外部領域で、外力が存在しない場合を考察し、解が通常のL^n-空間より少し広いL^<n,∞>-空間に属するための十分条件を求めた。その結果通常のL^n-空間で成り立つ、解の存在のための十分条件が、ほとんどそのままより広いL^<n,∞>-空間で成立するが、時間が無限に大きくなったときの解の漸近的な挙動は、L^n-空間の場合と本質的に異なる場合があることが判明した。外部領域で、外力が存在する場合の考察は、将来の課題として残されている。