楕円曲線上の等角不変確率場の繰り込みとその多重相関関数が表現する保型形式

2次元トーラスの複素構造を上半平面によって自然にパラメータ付けする。その上の複素数値点過程を非同次項に持つコ-シ-リーマン方程式の解として確率場が定まる.上半半面への群SL_2(Z)の作用のもと解はモデュラー共変性を持つ.この性質が多重相関関数をトーラス上の有理点で評価したものの保型性を導く.しかしながら解としての確率場は2乗以上のべきに対しては可積分とはならないことが分かり,そのままでは表現できる保型形式に大きく制限を付けてしまう.ところが楕円関数を用いた解の表示から,モデュラー共変性を保ったまま確率場のべき乗に相当するもの,renormalized productと仮に呼ぶ,が自然に構成され,表現できるクラスを広げることができる。renormalized productの構成はwick積のアナログともいえ,実際,点過程の粒子密度が大きい極限での確率場のガウス超過程への収束(中心極限定理)が,同時にrenormalized productのwick積への収束にいたることが示せる.但し中心極限定理の成立する典型的な状況と相違するのは,コ-シ-リーマン方程式の非同次項が,各点独立なポァッソン点過程を確率が0であるようなファイバーで条件を付けて得られるものであるために元々持っていた独立性を大きく崩してしまっている点にある.独立性を壊すような拘束条件はコ-シ-リーマン方程式が可解であるために必要な条件であり,本研究の重要テーマであった.この点は,ポァッソン点過程のレビー測度が適度な密度を持てば比較的困難なしに克服できる.

2次元トーラスの複素構造を上半平面によって自然にパラメータ付けする。その上の複素数値点過程を非同次項に持つコ-シ-リーマン方程式の解として確率場が定まる.上半半面への群SL_2(Z)の作用のもと解はモデュラー共変性を持つ.この性質が多重相関関数をトーラス上の有理点で評価したものの保型性を導く.しかしながら解としての確率場は2乗以上のべきに対しては可積分とはならないことが分かり,そのままでは表現できる保型形式に大きく制限を付けてしまう.ところが楕円関数を用いた解の表示から,モデュラー共変性を保ったまま確率場のべき乗に相当するもの,renormalized productと仮に呼ぶ,が自然に構成され,表現できるクラスを広げることができる。renormalized productの構成はwick積のアナログともいえ,実際,点過程の粒子密度が大きい極限での確率場のガウス超過程への収束(中心極限定理)が,同時にrenormalized productのwick積への収束にいたることが示せる.但し中心極限定理の成立する典型的な状況と相違するのは,コ-シ-リーマン方程式の非同次項が,各点独立なポァッソン点過程を確率が0であるようなファイバーで条件を付けて得られるものであるために元々持っていた独立性を大きく崩してしまっている点にある.独立性を壊すような拘束条件はコ-シ-リーマン方程式が可解であるために必要な条件であり,本研究の重要テーマであった.この点は,ポァッソン点過程のレビー測度が適度な密度を持てば比較的困難なしに克服できる.