Numerische Relaxierung von nichtkonvexen Funktionalen der Festkörpermechanik

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Mehrskalenprobleme treten kanonisch in der hierarchischen Diskretisierung parameterabhängiger Minimierungsprobleme auf: Abhängig von einem Parameter e, 0 kleiner e viel kleiner 1, zur Beschreibung eines mit e > 0 (e größer 0) schwindenden Einflusses der höchsten im Funktional auftretenden Differentiationen wird das Minimierungsproblem min{I(e,xk) : xk s Sk} auf einer Folge von diskreten Räumen (Sk) mit charakteristischem Diskretisierungsparameter (hk) betrachtet.In Anwendungen zu optimierten Legierungen, Phasenübergängen oder im Mikromagnetismus beschreibt der Ordnungsparameter Austauschenergien (zum Wechsel der Phase) und bestimmt die Skala (oder Skalen) der beobachteten Mikrostrukturen.Für 0 kleiner e viel kleiner hk können gewisse dieser hochoszillierenden Strukturen in den oben beschriebenen nichtkonvexen Minimierungsaufgaben (Me,k) auf einer hk-abhängigen Skala wiedergefunden werden. In diesem Projekt sollen Young-Maß-Approximationen betrachtet werden, für die xk = (uk,nk) neben Verschiebungs- und/oder Magnetisierungsmittelwerten uk auch statistische Oszillations- und gegebenenfalls Konzentrationseffekte in Termen diskreter Maße nk beschreibt. Eine effektive Numerik muß dabei eine Hierarchie von diskreten Räumen ausnutzen und darin Informationen über Mikrostrukturen auf verschiedenen Skalen hk austauschen.