Numerische Relaxierung von nichtkonvexen Funktionalen der Festkörpermechanik

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Das Auftreten induzierter Mikrostrukturen in Festkörper lässt sich auf einen Verlust der Konvexitätseigenschaften der zugrundeliegenden Energiepotentiale zurückführen. Beispiele hierfür sind Materialien, in denen Phasenübergänge stattfinden, elastoplastische Materialien, die große Verzerrungen erfahren, sowie Materialien, in denen Schädigungsprozesse ablaufen. Während das Material sich makroskopisch verformt, bilden sich gleichzeitig auf mikroskopischen Skalen Strukturen wie Scherbänder, Risse oder Laminate unterschiedlicher Phasen aus. Gemeinsam ist all diesen Beispielen, dass aufgrund der fehlenden Konvexität die Lösungen der entsprechenden Randwertprobleme nicht mit den üblichen Finite-Elemente Ansätzen approximiert werden können. Die numerische Simulation solcher Probleme mittels Energieminimierung ist eine große Herausforderung, da sich bei deren Modellierung Mikrostrukturen mit großen Oszillationen ergeben. Die Regularisierung der exakten Lösung ist geringer als diejenige der Approximation und somit sind die numerischen Lösungen abhhängig von der konkreten Diskretisierung. ...