通常特異点を持つ複素代数多様体の位相的、解析的研究

(1)次元が5以下の超曲面通常特異点のうち、これまで証明が欠けていたA_2型局所安定正則写像芽から生ずる4,5次の通常特異点について、F.Guillen,V.Navarro Aznar et al.の意味でのcubic hyper-resolutionが、「正規化」を繰り返し行うことによって得られることを示した。このことにより、5次以下の超曲面通常特異点を持つ複素射影多様体の「局所自明」族から、自然に混合ホッジ構造の変形族が生ずる事が結論できる。(2)研究代表者はこれまでに、F.Guillen,V.Navarro Aznar et al.の代数多様体のcubic hyper-resolutionの概念の「相対化」として、代数多様体の「局所自明」族のcubic hyper-equisingular resolutionの概念を導入し、これを用いて、5次以下の超曲面通常特異点を持つ複素射影多様体の「局所自明」族から自然に生ずる混合ホッジ構造の無限小混合トレリ問題をコホモロジー論的に定式化したが、本研究では、具体的に、P^3(C)の中の(n,r_1,r_2,r_3)型と呼ばれる通常特異点を持つ代数曲面について、無限小混合トレリ問題を考察した。そして、この場合、n≧Max(3r_1+r_2+r_3+1,2(r_1+r_2)+3)ならば確かに無限小混合トレリ問題が肯定的に解けることを示した。この結果は論文として準備中である。(3)(2)で扱った通常特異点を持つ(n,r_1,r_2,r_3)型代数曲面の3-fold版として、P^4(C)の中の(n,r_1,r_2,r_3,r_4)型3-foldを考えると、アフィン座標で(XY)^2+(YX)^2+(ZX)^2+WXYZ=0と記述される特異点が現われるが、これはもはや「通常特異点」ではない。しかし、弱正規孤立特異点であることがわかる。この特異点はスタイナ-曲面と呼ばれる。P^3(C)の中の通常特異点を持つ有理曲面上のconeであり、その正規化はP^2(C)⊂P^5(C)(2次のVeronese embedding)から来るP^2(C)上のconeであることがわかった。

(1)次元が5以下の超曲面通常特異点のうち、これまで証明が欠けていたA_2型局所安定正則写像芽から生ずる4,5次の通常特異点について、F.Guillen,V.Navarro Aznar et al.の意味でのcubic hyper-resolutionが、「正規化」を繰り返し行うことによって得られることを示した。このことにより、5次以下の超曲面通常特異点を持つ複素射影多様体の「局所自明」族から、自然に混合ホッジ構造の変形族が生ずる事が結論できる。(2)研究代表者はこれまでに、F.Guillen,V.Navarro Aznar et al.の代数多様体のcubic hyper-resolutionの概念の「相対化」として、代数多様体の「局所自明」族のcubic hyper-equisingular resolutionの概念を導入し、これを用いて、5次以下の超曲面通常特異点を持つ複素射影多様体の「局所自明」族から自然に生ずる混合ホッジ構造の無限小混合トレリ問題をコホモロジー論的に定式化したが、本研究では、具体的に、P^3(C)の中の(n,r_1,r_2,r_3)型と呼ばれる通常特異点を持つ代数曲面について、無限小混合トレリ問題を考察した。そして、この場合、n≧Max(3r_1+r_2+r_3+1,2(r_1+r_2)+3)ならば確かに無限小混合トレリ問題が肯定的に解けることを示した。この結果は論文として準備中である。(3)(2)で扱った通常特異点を持つ(n,r_1,r_2,r_3)型代数曲面の3-fold版として、P^4(C)の中の(n,r_1,r_2,r_3,r_4)型3-foldを考えると、アフィン座標で(XY)^2+(YX)^2+(ZX)^2+WXYZ=0と記述される特異点が現われるが、これはもはや「通常特異点」ではない。しかし、弱正規孤立特異点であることがわかる。この特異点はスタイナ-曲面と呼ばれる。P^3(C)の中の通常特異点を持つ有理曲面上のconeであり、その正規化はP^2(C)⊂P^5(C)(2次のVeronese embedding)から来るP^2(C)上のconeであることがわかった。