複素平面上の単位円内のfine topologyについての研究

複素平面上の単位円内における解析関数の境界挙動を調べるためにはStolzの道を通して調べる方法がある。その結果として集積値集合論が大発展した。Riemann面上の解析関数の理想境界(特にMartin境界と倉持境界)における境界挙動についてはM.Rrelotによって導入されたfine topologyの概念を用いて多くの研究者が数多くの結果を出してきた。しかし集積値集合論はRiemann面上においては発展しなかった。Riemann面においても集積値集合論を発展させたい。そのためには複素平面上の単位円内におけるStolzの角領域とnon-minimally thin setとのgapを埋める新しい概念を見つける必要がある。複素平面上の単位円内の角領域とfine topologyを定義するときに用いるminimal ly thin setとの関係を具体的に明かにしたい。本年度、は複素平面上の単位円{|z|<1}内における閉集合がz=1でminimally thin setとならないための十分条件を調べ次の結果を得た。K_n=[a_n,b_n](n=1,2,…)とする.ただし、0<a_n<b_n<a_<n+1><1,lim_<n→∞>a_n=1とする。F=U^∞_n_<=1>K_nとおく。もし、limsup_<n→∞>(m(U^∞_k_<=n>[a_k,b_k]))/(m([a_n,1]))>0ならば、Fはz=1でminimally thinとならない。ただし、mは1次元のルベ-グ測度である。ここでは、いままでのポテンシャル論的手法に加えて古典的な関数論的手法(シュヴァルツ・クリストッフェルの公式)も用いた。年度末になって結果らしいものがでてきたので、成るべくはやくまとめて研究途上の状態であるが、本学の紀要に投稿したい。来年度以降は本年度行ったことをもう少し精密に調べ、他の研究者の結果と比較検討したい。

複素平面上の単位円内における解析関数の境界挙動を調べるためにはStolzの道を通して調べる方法がある。その結果として集積値集合論が大発展した。Riemann面上の解析関数の理想境界(特にMartin境界と倉持境界)における境界挙動についてはM.Rrelotによって導入されたfine topologyの概念を用いて多くの研究者が数多くの結果を出してきた。しかし集積値集合論はRiemann面上においては発展しなかった。Riemann面においても集積値集合論を発展させたい。そのためには複素平面上の単位円内におけるStolzの角領域とnon-minimally thin setとのgapを埋める新しい概念を見つける必要がある。複素平面上の単位円内の角領域とfine topologyを定義するときに用いるminimal ly thin setとの関係を具体的に明かにしたい。本年度、は複素平面上の単位円{|z|<1}内における閉集合がz=1でminimally thin setとならないための十分条件を調べ次の結果を得た。K_n=[a_n,b_n](n=1,2,…)とする.ただし、0<a_n<b_n<a_<n+1><1,lim_<n→∞>a_n=1とする。F=U^∞_n_<=1>K_nとおく。もし、limsup_<n→∞>(m(U^∞_k_<=n>[a_k,b_k]))/(m([a_n,1]))>0ならば、Fはz=1でminimally thinとならない。ただし、mは1次元のルベ-グ測度である。ここでは、いままでのポテンシャル論的手法に加えて古典的な関数論的手法(シュヴァルツ・クリストッフェルの公式)も用いた。年度末になって結果らしいものがでてきたので、成るべくはやくまとめて研究途上の状態であるが、本学の紀要に投稿したい。来年度以降は本年度行ったことをもう少し精密に調べ、他の研究者の結果と比較検討したい。