関数微分方程式の解の定性的研究とその応用

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研究課題「関数微分方程式の解の定性的研究とその応用」の目的は、関数微分方程式の解の漸近的挙動を理論的に解析することを主目的とし、そのための補助手段として、数値解法を開発し、解軌道をコンピュータに描画させるソフトウエ アを開発することである。本年度に得られた主な結果は次の(1)、(2)である:(1)数値解法については、既に開発していた関数微分方程式の数値解法を改良し、複数個の時間遅れを含む関数微分方程式や積分微分方程式の解の近似公式を作成した。その手法は、常微分方程式の近似公式で用いられるルンゲ・クッタ法に類した物である。開発した数値解法を用いて、解軌道を描画するためのコンピュータソフトを開発した。(2)開発したコンピューターソフトを使って、種々の関数微分方程式の解軌道をグラフィック化し、多方面から解の特性を調べた。数値実験によっていろいろな解の性質を抽出させた。それらの数学的証明を試みたところ、いくつかの関数微分方程式の解の性質については数学的証明に成功した。多次元の線形関数微分方程式の零解の一様安定性、漸近安定性については、常微分方程式の基本行列を用いる方法で成果を得た。また、複数個の遅れ時間を含む差分微分方程式に対して、特性方程式の理論を用いて、漸近安定性に関する結果を得ている。数値実験によって解軌道を視覚的に把えることは、直接的に、解の性質の数学的な解析を導くものではないが、様々なヒントを与える。数学的な解析の補助手段として有効である。関数微分方程式の零解の安定性、漸近安定性に関して得られた成果は、研究集会で発表し、論文は専門雑誌に投稿中である。