有限群の根基部分群複体の研究と、その表現論、コホモロジー論への応用

有限群の表現論における主要な問題の一つに"アルペリン重み予想"がある。これは「KD-加群の同型類の個数と、いわゆる群Gの重みの共役類の個数が等しいであろう」と言う予想である。これをさらに精密化した"ブロックバージョン"の予想として次がある。すなわちGのブロックBを勝手に一つ固定した時に「Bに属するKG-加群の同型類の個数と、いわゆるGのB-重みの共役類の個数が等しいであろう」と言うものである。この予想にはKnorr-Robinsonによるp-部分群複体を用いた言い換え(Knorr-RobinsonのReformulation)があり、その表現の多様性からも非常に興味ある予想になっている。前回、熊本大学・渡辺アツミ助教授との共同研究の中で「可換な不足群をもつ主ブロックで惰性指数が素数」と言う仮定の下で先のアルペリン重み予想(のブロックバージョン)が正しいことを証明した。これはアルペリン予想の直接的な解決を進める中で基本的な結果となっている。そこで次に取り組むべき研究課題として自然に「可換な不足群をもつ主ブロックで惰性指数が"ある素数の2ベキ"」と言う仮定の下で予想を検証することが挙げられる。この仮定の下においても前回と同様に予想は単純群のそれに帰着されるため、単純群の分類定理を用いて予想の検証を試みた。結論から言うとまだ最後まで検証されていない。現状は交代群と散在群の処理が終わっているため残りはリー型の群である。その中でも特に古典群に関しては、そのシロー群を直接捕まえることによって予想が正しいことは確認済みである。今後の研究課題は残りの例外群の構造を詳しく調べ、アルペリン予想の検証を完成させることである。

有限群の表現論における主要な問題の一つに"アルペリン重み予想"がある。これは「KD-加群の同型類の個数と、いわゆる群Gの重みの共役類の個数が等しいであろう」と言う予想である。これをさらに精密化した"ブロックバージョン"の予想として次がある。すなわちGのブロックBを勝手に一つ固定した時に「Bに属するKG-加群の同型類の個数と、いわゆるGのB-重みの共役類の個数が等しいであろう」と言うものである。この予想にはKnorr-Robinsonによるp-部分群複体を用いた言い換え(Knorr-RobinsonのReformulation)があり、その表現の多様性からも非常に興味ある予想になっている。前回、熊本大学・渡辺アツミ助教授との共同研究の中で「可換な不足群をもつ主ブロックで惰性指数が素数」と言う仮定の下で先のアルペリン重み予想(のブロックバージョン)が正しいことを証明した。これはアルペリン予想の直接的な解決を進める中で基本的な結果となっている。そこで次に取り組むべき研究課題として自然に「可換な不足群をもつ主ブロックで惰性指数が"ある素数の2ベキ"」と言う仮定の下で予想を検証することが挙げられる。この仮定の下においても前回と同様に予想は単純群のそれに帰着されるため、単純群の分類定理を用いて予想の検証を試みた。結論から言うとまだ最後まで検証されていない。現状は交代群と散在群の処理が終わっているため残りはリー型の群である。その中でも特に古典群に関しては、そのシロー群を直接捕まえることによって予想が正しいことは確認済みである。今後の研究課題は残りの例外群の構造を詳しく調べ、アルペリン予想の検証を完成させることである。