非一様双曲型力学系のマルチフラクタル解析およびエルゴード理論的性質の研究

非均匀双曲动力系统的多重分形分析与遍历特性研究

• 批准号: 01J04606
• 负责人: 中石 健太郎
• 金额: $ 2.3万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2001
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2001 至 2003
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-01J04606/
• 关键词: 高次元連分数アルゴリズム; 非一様双曲型力学系; リャプノフ指数; 同時近似; 連分数; ランダムアルゴリズム

今年度は3次元以上の一般次元の高次元連分数アルゴリズムの強収束問題の手がかりをつかむことに力を注いだ。アルゴリズムが殆ど至るところ強収束であることを示すことと、アルゴリズムに対応する行列のコサイクルの2番目のLyapunov指数が負であることは同値である。1番目が正であることは大抵の場合容易である。すなわちアルゴリズムに対応する力学系が非一様双曲型であることを示すことになる。問題の性質からこれはディオファントス近似に現れる量D_{n}がnに関して指数減衰することをしめせば十分になる。今まで手がけてきたJacobi-Perronアルゴリズムに代表される乗法型アルゴリズムではなくSelmerアルゴリズム・Brunアルゴリズムなどのいわゆる加法型アルゴリズムに取り組み、2次元加法型アルゴリズムについても殆んど至るところ強収束することを示すことができた。現在3次元以上について研究中である。加法型は背後にある力学系との関係が乗法型と異なり陰に隠れるため、力学系の軌道を利用した評価が不可能になる。これを回避するために弱収束を仮定した下で生ずる軌道の制限に注目するとD_{n}の絶対値が広義単調減少であることが分かる。特にある条件を満たす連続軌道(それはほとんど至るところの軌道に対して無限回含まれる)下ではこの制限と双曲型不動点近傍の力学系理論とを組み合わせることによりD_{n}の絶対値がこの連続軌道の間は一様に縮小的であることを得る。一方3次元以上の乗法型アルゴリズムではこの方法でも困難が生ずる。これは2次元の場合のLyapunov指数の計算は各変数の独立性が高くそれぞれの評価がうまく得られるのに対し(それゆえ第2Lyapunov指数<0以上を示せる)、3次元以上では本質的に各次元が絡み合ってくることに起因する。従って最終的にはすべての方向を考慮にいれた評価をするべきであり、コロンブスの卵のようであるが、むしろこちらの方が問題に即した自然な評価とみなせることが明らかになってきた。この究明に合わせて乗法型と加法型アルゴリズムの関係の定式化も必要となるであろう。

This year, the general dimension and the high dimension continuous fraction of the three dimensions and above are divided into two parts. The Lyapunov exponents of the two groups of columns are negative. 1. It is easy to see the situation. The mechanical system is non-uniform hyperbolic. The nature of the problem is to approximate the quantity D_{n} to the exponential decay. The Jacobi-Perron class represents the class of the class of the class, the class of the class Now more than 3 dimensions in the research of. The relationship between the additive type and the mechanical system is impossible to evaluate. The orbit of the earth is divided into two parts: one part is weak, the other part is weak, the other part is weak. The theory of hyperbolic fixed point near the mechanical system under the condition that the orbit is connected to each other (i.e., the orbit is connected to each other) is composed of the following elements: A party of more than three dimensions of the law of the type of failure, but also the method of difficult to produce The Lyapunov exponents are calculated in the case of two dimensions, and the independence of each number is high. The evaluation of Lyapunov exponents is high. The results show that the Lyapunov exponents of the second dimension are higher than 0. The results show that the Lyapunov exponents of the third dimension are higher than 0. In the final analysis, we will consider the following: This study shows that the relationship between the two types of law and addition is necessary for the formalization of the relationship.

项目成果

中石 健太郎(Kentaro Nakaishi): "Exponentially Strong Convergence of Non-Classical Multidimensional Continued Fraction Algorithms"Stochastics and Dynamics. Vol.2,No.4. 563-586 (2002)

Kentaro Nakaishi：“非经典多维连续分数算法的指数强收敛性”随机学与动力学，第 2 卷，第 563-586 期（2002 年）。