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Mordell-Weil latticeに関する研究

莫德尔-韦尔格子的研究

基本信息

批准号：
01J06727
负责人：
西山賢一
金额：
$ 2.3万
依托单位：
Saitama University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2001
资助国家：
日本
起止时间：
2001 至 2003
项目状态：
已结题

项目摘要

最近、K3曲面上の楕円構造は、Mordell-Weil群が有限なものに関しては島田氏によって全て分類された。またこれにより、Mordell-Weil群のtorsion partも分類されたので、楕円構造の格子としての特異fibreの型も全て分類された。しかし、Mordell-Weil群のランクが正のものについては、まだあまり分かっていない。そこでまず、ランクrと、特異K3曲面Xのtranscendental格子T_Xの行列式との関係を考えた。今、X^(r)を、Mordell-Weil群のランクがrの楕円構造をもつ特異K3曲面とする。Mordell-Weil群が有限(すなわちr=0)のときは、島田、Zhang両氏の分類によって、3【less than or equal】det T_<X^<(0)>>【less than or equal】3600だと分かる。そこで、ランクが正のものについて考えた。私は、r>0を固定したとき、Mordell-Weil群のランクがrの楕円構造を持つ特異K3曲面X^<(r)>を、無限個見つけだした。これは、ある特殊なK3曲面YのPicard格子S_Yを考えることにより求められた。これにより、T_<X^<(r)>>の行列式は、最大値を持たないことが分かった。そこで、T_<X^<(r)>>の行列式の最小値をdT(r)として、それを求めることを考えた。今までに、求めることができたのは、r=1,2のときである、その値はそれぞれ、dT(1)=3、dT(2)=7になった。その他の場合(3【less than or equal】r【less than or equal】18)についても、dT(r)【greater than or equal】11であることが分かった。また、特に、dT(3)=11or12、dT(4)=11,15or16、11【less than or equal】dT(5)【less than or equal】36だということまで分かった。上のS_Yを使った方法を、他の同様な性質をもつK3曲面ZのPicard格子S_Zについても試してみた。しかし、r=18の場合を除いて、ある条件を満たしていることを示すことができなかった。r=18の場合、前のS_Yを使った方法ではdT(18)【less than or equal】2480までしか示せないが、S_Zを使えばdT(18)【less than or equal】399を示せていた。よって、このことが示せればdT(r)についてよりよい結果がでると思われる。

Recently, the Mordell-Weil group on the K3 surface has been classified as a finite group. The torsion-part classification of Mordell-Weil group and the type-specific classification of lattice structure are described. The Mordell-Weil group is divided into two groups: A study of the relationship between the determinant of T_X and the transcendental lattice of K_3 surface X. Now, X^(r), Mordell-Weil group and the structure of r are special K3 surfaces. Mordell-Weil group finite (r=0)そこで、ランクが正のものについて考えた。Private, r>0, fixed, Mordell-Weil group, special K3 surface X^<(r)>, infinite Special K3 Surface Y Picard Lattice S_Yこれにより、T_<X^<(r)>>の行列式は、最大値を持たないことが分かった。The minimum value of the determinant of T_<X^<(r)> is dT(r), T_<X ^<(r)>. This time, we ask for, r=1,2,, dT(1)=3, dT(2)=7.その他の场合(3【less than or equal】r【less than or equal】18)についても、dT(r)【greater than or equal】11であることが分かった。また、特に、dT(3)=11or12、dT(4)=11,15or16、11【less than or equal】dT(5)【less than or equal】36だということまで分かった。The above S_Y method is used to test the same properties of K_3 surface Z and Picard lattice S_Z. For example, if r=18, the field will be divided into two parts. r=18 and S_Y = dT(18)[less than or equal] 2480 and S_Z = dT(18)[less than or equal]よって、このことが示せればdT(r)についてよりよい结果がでると思われる。