Mordell-Weil latticeに関する研究

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最近、K3曲面上の楕円構造は、Mordell-Weil群が有限なものに関しては島田氏によって全て分類された。またこれにより、Mordell-Weil群のtorsion partも分類されたので、楕円構造の格子としての特異fibreの型も全て分類された。しかし、Mordell-Weil群のランクが正のものについては、まだあまり分かっていない。そこでまず、ランクrと、特異K3曲面Xのtranscendental格子T_Xの行列式との関係を考えた。今、X^(r)を、Mordell-Weil群のランクがrの楕円構造をもつ特異K3曲面とする。Mordell-Weil群が有限(すなわちr=0)のときは、島田、Zhang両氏の分類によって、3【less than or equal】det T_<X^<(0)>>【less than or equal】3600だと分かる。そこで、ランクが正のものについて考えた。私は、r>0を固定したとき、Mordell-Weil群のランクがrの楕円構造を持つ特異K3曲面X^<(r)>を、無限個見つけだした。これは、ある特殊なK3曲面YのPicard格子S_Yを考えることにより求められた。これにより、T_<X^<(r)>>の行列式は、最大値を持たないことが分かった。そこで、T_<X^<(r)>>の行列式の最小値をdT(r)として、それを求めることを考えた。今までに、求めることができたのは、r=1,2のときである、その値はそれぞれ、dT(1)=3、dT(2)=7になった。その他の場合(3【less than or equal】r【less than or equal】18)についても、dT(r)【greater than or equal】11であることが分かった。また、特に、dT(3)=11or12、dT(4)=11,15or16、11【less than or equal】dT(5)【less than or equal】36だということまで分かった。上のS_Yを使った方法を、他の同様な性質をもつK3曲面ZのPicard格子S_Zについても試してみた。しかし、r=18の場合を除いて、ある条件を満たしていることを示すことができなかった。r=18の場合、前のS_Yを使った方法ではdT(18)【less than or equal】2480までしか示せないが、S_Zを使えばdT(18)【less than or equal】399を示せていた。よって、このことが示せればdT(r)についてよりよい結果がでると思われる。