剰余モジュラーガロア表現の普遍変形環と普遍モジュラー変形環の同型問題

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前年度までには,「ρ^^-の変形問題が"unobstructed"である」とういう条件の下で,与えられた固有形式fに付随する剰余モジュラーガロア表現ρ^^-に対する普遍変形環と普遍モジュラー変形環の同型問題である「グベアの予想」を解決することができていた.そこで,はじめに与えたfに付随するmod p表現ρ^^-の変形問題が"unobstructed"となる素数pが,どのくらいの割合で存在するのかが非常に興味深い問題となる.今年度の研究においては,fの重さが3以上である場合に,有限個を除いて全ての素数に対し,ρ^^-の変形問題が"unobstructed"となることを証明できた.したがって,fの重さが3以上の場合には,ほとんど全ての素数pに対して「グベアの予想」が成立することを証明できたことになり,これは非常に大きな進展である.以上の事は,内外の専門家と研究打ち合せをする際,研究奨励金を用いて遂行できた成果であり,特に,7月3日から7月12日にかけてパリで行われた代数的整数論の研究集会に参加させていただいた時に行なった研究打ち合せが大きな進展につながった.今後の研究の方針としては,ρ^^-が楕円モジュラー形式に付随している場合だけではなく,より一般的な状況を把握するために,楕円モジュラー形式の概念を広げたヒルベルトモジュラー形式に付随する場合に,どのような条件の下でこの予想が成立するのかといった研究を進めていきたい.現在は,このプロジェクトの端緒となるヒルベルト保型形式のp進無限族の構成に関する計算に,着手しはじめたところである.