Poincare-Bendixson type theoreom for holomorphic foliation of codimension one and its application

余维一全纯叶化的Poincare-Bendixson型定理及其应用

• 批准号: 13640092
• 负责人: ITO Toshikazu
• 金额: $ 2.24万
• 依托单位: Ryukoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2001
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2001 至 2003
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-13640092/
• 关键词: holomorphic one form; holomorphic foliation; Poincare-Bendixson theorem; Poincare-Hopf theorem; holomorphic vector field; singularity; transversality; 正則1型式; Kacの問題; 半線形楕円型方程式; ホモクリニック軌道; 分岐; ニュートン法; カントール族; 正則1-形式; Oseenの螺旋流; ギンツブルグ・ランダウ方

The aim of this project is an extension of "Poincare-Bendixson type theorem for holomorphic vector field" proved by A.Douady and T.Ito to a holomorphic foliation of codimension one. We will investigate the following question :Question Let F be a holomorphic foliatiop of codimension one defined in a neighborhood of a closed disc <B^<2n>(R)>^^^-={Z∈C^n||Z|【less than or equal】R}⊂C^n. If F is transverse to S^<2n-1>(R)=∂<B^<2n>(R)>^^^-, then what can be said about F?We got the following results :(1)There is no holomorphic foliation F such that F is transverse to S^<4m+1>(R)⊂C^<2m+1>.(2)If F is defined by a homogeneous integrable one form ω, F is not transverse to S^<2n-1>(R), n【greater than or equal】3.(3)Let F be defined in a neighborhood U of a closed polydisk <Δ^n(1)>^^^-⊂C^n. If F is transverse a boundary of <Δ^n(1)>^^^-, then F is ψ^*(L), where L is a hyperbolic linear logarithmic foliation on C^n and a map ψ:U→C^n is holomorphic.(4)Let ω be a holomorphic one form defined in a neighborhood of <B^<2n>(R)>^^^-⊂C^n. If Ker(ω) is transverse to S^<2n-1>(R), then we have a Poincare-Hopf type theorem for ω.(5)If Ker(ω) is transverse to S^<2n-1>(R), then there is only one singular point of ω inside B^<2n>(R) and this point is simple.

本文的目的是将A.Douady和T.Ito证明的“全纯向量场的Poincare-Bendixson型定理”推广到余维为1的全纯叶理上。设F是定义在闭圆&lt;B^（R）&gt;^-={Z∈C^n的邻域中的余维为1的全纯叶状体<2n>||Z| [小于或等于]R}&lt;$C^n。如果F横截于S^<2n-1>（R）= B^<2n>（R）&gt;^^-，那么关于F可以说什么？我们得到以下结果：（1）不存在全纯叶理F使得F横截于S^&lt;4 m +1&gt;（R）&lt;$C^&lt;2 m +1&gt;。(2)If F由齐次可积的一个形式ω定义，F不横截于S^<2n-1>（R），n[大于或等于]3。（3）设F定义在闭多圆盘&lt;Δ^n（1）&gt;^^^-Δ C^n的邻域U中。若F横截&lt;Δ^n（1）&gt;^-的边界，则F是&lt;$^*（L），其中L是C^n上的双曲线性对数叶理，映射&lt;$：U→C^n是全纯的。（4）设ω是定义在&lt;B^<2n>（R）&gt;^-&lt;$C^n邻域中的全纯1型。如果Ker（ω）横截于S^<2n-1>（R），则我们有关于ω的Poincare-Hopf型定理。(5)If Ker（ω）横截于S^<2n-1>（R），则ω在B^（R）内只有一个奇点<2n>，且该奇点是单奇点.

项目成果

E.Yanagida, S.Yotsutani: "Recent Topics on Nonlinear Partial Differential Equqtions : Structure of Radial Solutions for Semilinear Elliptic Equations"Amer.Math.Soc.Transl.. 2-211. 121-137 (2003)

E.Yanagida、S.Yotsutani：“非线性偏微分方程的最新主题：半线性椭圆方程的径向解的结构”Amer.Math.Soc.Transl.. 2-211。

T.Ito, B.Scardua: "Holomorphic foliations of codimension one transverse to polydiscs"J.fur die reine und angew.Math.. (to appear).

T.Ito, B.Scardua：“余维一横向于多盘的全纯叶”J.fur die reine und angew.Math..（即将出现）。

T.Ito: "Some examples and problems of contact sets (polar varieties) of spheres and holomorphic vector fields"The Ryukoku Journal of Humanities and Sciences. 22-2. 145-152 (2001)

T.Ito：“球体和全纯矢量场的接触集（极性簇）的一些例子和问题”《龙谷人文与科学杂志》。

Y.Morita: "Stable Solutions to the Ginzburg-Landau Equation with Magnetic Effect in a Thin Domain"Japan J.Indust.Appl.Math.. (to appear).

Y.Morita：“薄域中具有磁效应的 Ginzburg-Landau 方程的稳定解”Japan J.Indust.Appl.Math..（待发表）。

Y.Lou, W.W.Ni, Wei-Mlng, S.Yotsutani: "On a limiting system in the Lotka-Volterra Competition with cross-diffusion"Discrete and Continuous Dynamical Systems. (to appear). (2003)

Y.Lou、W.W.Ni、Wei-Mlng、S.Yotsutani：“关于具有交叉扩散的 Lotka-Volterra 竞争中的限制系统”离散和连续动力系统。