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Research of Matrix Inequalities and Norm Inequalities on Matrices Algebra

矩阵代数上的矩阵不等式和范数不等式研究

基本信息

批准号：
13640146
负责人：
OKUBO Kazuyoshi
金额：
$ 2.18万
依托单位：
HOKKAIDO UNIVERSITY OF EDUCATION
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2001
资助国家：
日本
起止时间：
2001 至 2002
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-13640146/
关键词：
Aluthge transformation λ- Aluthge transformation Numerical range C-numerical range q-numerical range Numerical radius Operator radius Weakly unitarily invariant norm Absolute norm Spectrum Aluthge transform Rank reducing Approximan

项目摘要

Let T ∈ B(H) and T = UP be a polar decomposition of T. For 0 < λ < 1, we define the λ-Aluthge transformation of T by P^λUP^<1-λ>. In particular, for λ = 1/2, T^^~ := P^<1/2>U P^<1/2> is called the Aluthge transformation of T (See [A]). The numerical range W(T) of T is defined by W(T) := {<x, Tx> | ||x|| = 1}. Recently, Yamazaki and Wu showed that W(T^^~) ⊂ W(T), then w(T^^~) 【less than or equal】 w(T) for the numerical radius w(・). In this research we extended these results. We give the following results as the parts of our works.(i) On the generalized numerical rangeLet T, C be n × n complex matrices. The C-numerical range of T is defined by W_C(T) := {tr(CU^*AU) | U; unitary}.If C is a Hermitian matrix or a rank one matrix, then the following inclusion relation holds:W_C(f(T^^~)) ⊂ W_C(f(T))for f(z) is a complex polynomial.(ii) The inequality on semi-norms.Let A ∈ B(Η), and |||・||| be a semi-norm on B(Η). If |||・||| satisfy ∃γ, |||X||| 【less than or equal】 γ ||X|| (X ∈ B(H)), |||S^*XS||| 【less than or equal】 ||S||^2・|||X||| (X, S ∈ B(Η)). Then for 0 【less than or equal】 λ 【less than or equal】 1, |||f(A_λ)||| 【less than or equal】 max {|||f(A)|||, |||U^* ・f(A) ・ U + f(0)(I-U^*U)|||} for any polynomial f. From this fact, we can prove that for the operator radii w_ρ(・) (ρ > 0), 0 【less than or equal】 λ 【less than or equal】 1, and polynomial f, we have w_ρ(f(A_λ)) 【less than or equal】 w_ρ(f(A)).

设T ∈ B（H），T = UP是T的极分解.当0 < λ < 1时，我们定义T的λ-λ-thge变换为P^λUP^<1-λ>。特别地，当λ = 1/2时，T^^~：= P^<1/2> UP ^<1/2>称为T的高斯变换（见[A]）。T的数值范围W（T）由W（T）定义：|||X|| = 1}。最近，Yamazaki和Wu证明了W（T^^~）<$W（T），那么对于数值半径w（·），w（T^^~）[小于或等于] w（T）。在本研究中，我们扩展了这些结果。作为我们工作的一部分，我们给出了以下结果。(i)设T，C为n × n复矩阵. T的C数值范围由W_C（T）：= {tr（CU^*Au）|U;如果C是Hermitian矩阵或秩1矩阵，则以下包含关系成立：W_C（f（T））<$W_C（f（T）），其中f（z）是复多项式。(ii)关于半模的不等式设A ∈ B（H），且 |||·||| 是B（H）上的半范数。如果 |||·||| 满足π γ， ||| X||| [less大于或等于] γ|| X||（X ∈ B（H））， ||| S^*XS||| [less大于或等于]|| S|| ^2·||| X||| （X，S ∈ B（H））. 1.对于0 [小于或等于] λ [小于或等于]， ||| f（A_λ）||| [less大于或等于] max {||| f（A）||| , ||| U^* ·f（A）· U + f（0）（I-U^*U）|||对于任何多项式f。由此，我们可以证明：对于算子半径w_ρ（·）（ρ > 0），0 [小于或等于] λ [小于或等于] 1和多项式f，我们有w_ρ（f（A_λ））[小于或等于] w_ρ（f（A））.