真空状態を含む圧縮性ナヴィエ-ストークス方程式の解の存在と時間大域的挙動

点击翻译按钮获取中文摘要

2003年度の研究では,いくつかの方向で研究結果が得られた.圧縮性Navier-Stokes方程式のCauchy問題の非線形波の安定性に関しては,圧力を表す関数がより一般の場合を含むとき希薄波の大域安定性を示した.これは論文としてまとめられ,SIAM J.Math.Anal.に掲載されることが決まっている.ここでの方法は,圧縮性流を表わすp-systemの近似としてのRelaxation項をもつ方程式系(Jin-Xin relaxation model)にも応用され,K.Nishihara, H.Zhao and Y.Zhao Global stability of strong rarefaction waves of the Jin-Xin relaxation model for the p-systemとしてまとめられ,投稿中である.また,大阪大学松村昭孝氏の下でやはり外国人研究員として研究していたF.Huangとの共同研究で,半空間における接触不連続波の大域安定性を考察し,その論文がすでに出版されている.この場合も上記の希薄波の大域安定性を得る方法が応用されている.また,Navier-Stokes方程式の初期値問題で、初期値が遠方で真空に漸近する場合の大域解の存在についても考察がなされている:Z.Xin and H.Zhao, One-dimensional compressible Navier-Stokes equations : The case when the far fields of the initial density are in vacuum.さらに,最近,porous media中の圧縮性流の研究から派生して消散型波動方程式が散逸構造を持つことが詳しく調べられてきている.それに関係して,吸収項をもつ半線形消散型波動方程式のCauchy問題の解の減衰の結果を得た.その際の半線形項の指数は藤田指数より小さい場合である.その減衰のオーダーは対応する吸収項を持つ半線形熱方程式の自己相似解と同じで説得力のあるものと考えられる.この結果も,K.Nishihara and H.Zhao, Decay properties of solutions to the Cauchy problem for the damped wave equation with absorption,としてまとめられ投稿中である.