無限次元リー群とその分類空間の位相幾何学的研究

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A.Gをコンパクト、1-連結、単純リー群とし、BGをその分類空間とする。また、LGをG上の自由ループ群、BLGをその分類空間、LBGをBG上の自由ループ空間とする。良く知られているようにBLG【similar or equal】LBG(ホモトピー同値)である。この空間の自己ホモトピー集合S(G)=[BLG,BLG]〓[LBG,LBG]について研究をし、いくつかの結果を得た。以下、簡単のためにG=SU(2)の場合を特に述べる。(1)まず定値ループを対応させる写像S:BG→LBG、および評価写像e:LBG→BGを用いて、S(G)とSo(G)=[BG,BG]との関連を考察した。(So(G)の構造はJackowski-McClure-Oliverによって、一般のGについて決定されている。)さらに自然な誘導写像L:So(G)→S(G)について調べ、特にコホモロジー写像の対応について調べた。(2)Castellana-Kitchlooによるホモトピー分解BLG【similar or equal】hocolim(BG←BT→BG)に着目し、このホモトピー分解と適合する(すなわち互いに適合する、成分間の写像のhocolimとなっているもの)ようなS(G)の元fについて、その性質を調べた。特にfは上記のホモトピー分解に付随するMeyer-Vietoris完全系列の間の写像(一般のGについてはBousfield-Kanスペクトル系列の間の写像)を誘導するが、これを調べることにより、Gのワイル群W(G)とS(G)との関連について情報を得た。B.例外型リー群E_8の中での、E_8の部分群のホモトピー可換性について調べた。