ゼータ関数の普遍性-その一般化と定量化

リーマン・ゼータ関数に代表されるゼータ・L関数は整数論における重要な研究対象である。その解析的性質を調べる方向性は大きく分けて2つある。一つは零点の分布を調べるというもので、そこから素数定理などの重要な結果が得られる。もう一つは、全体の値分布を調べるという、ゼータ関数のより解析的な性質に注目した方向である。後者の研究で得られた最も興味深い結果の一つに、リーマン・ゼータ関数ζ(s)の普遍性がある。これは任意の正則関数はζ(s)の適当な垂直方向への平行移動ζ(s+it)(t:実数)によりコンパクト一様近似できるというものである。このように、何か一つのパラメータを動かすことにより任意の関数をゼータ関数で近似することを普遍性と呼ぶことにする。私が取り組んだのは、"平行移動"t以外にどのようなパラメータを動かせば普遍性は成立するか、という問題である。最初に取り組んだのは代数体上の量指標に付随するHecke L関数である。採用以前に得た。虚二次体上のHecke L関数について量指標の巾とtとを同時に動かした時、普遍性が成立する、という結果を一般体上に拡張した。その過程で得た量指標の一種の直交性を用い、複素変数をある領域内に固定した時、指標の巾を動かした時のL関数の値分布は、複素平面内で稠密になるという結果を得た。その後、新潟大学の名越氏と共に、実指標に付随するDirichlet L関数を研究した。平方相互律までの代数的な結果を用いて普遍性を証明した。又、その応用として二次体の類数分布の一様性を得た。以上の成果を学会、研究集会で発表後、単著論文3編、共著論文3編にまとめ雑誌社に投稿した。現在、一遍が掲載決定している。

リーマン・ゼータ関数に代表されるゼータ・L関数は整数論における重要な研究対象である。その解析的性質を調べる方向性は大きく分けて2つある。一つは零点の分布を調べるというもので、そこから素数定理などの重要な結果が得られる。もう一つは、全体の値分布を調べるという、ゼータ関数のより解析的な性質に注目した方向である。後者の研究で得られた最も興味深い結果の一つに、リーマン・ゼータ関数ζ(s)の普遍性がある。これは任意の正則関数はζ(s)の適当な垂直方向への平行移動ζ(s+it)(t:実数)によりコンパクト一様近似できるというものである。このように、何か一つのパラメータを動かすことにより任意の関数をゼータ関数で近似することを普遍性と呼ぶことにする。私が取り組んだのは、"平行移動"t以外にどのようなパラメータを動かせば普遍性は成立するか、という問題である。最初に取り組んだのは代数体上の量指標に付随するHecke L関数である。採用以前に得た。虚二次体上のHecke L関数について量指標の巾とtとを同時に動かした時、普遍性が成立する、という結果を一般体上に拡張した。その過程で得た量指標の一種の直交性を用い、複素変数をある領域内に固定した時、指標の巾を動かした時のL関数の値分布は、複素平面内で稠密になるという結果を得た。その後、新潟大学の名越氏と共に、実指標に付随するDirichlet L関数を研究した。平方相互律までの代数的な結果を用いて普遍性を証明した。又、その応用として二次体の類数分布の一様性を得た。以上の成果を学会、研究集会で発表後、単著論文3編、共著論文3編にまとめ雑誌社に投稿した。現在、一遍が掲載決定している。