保型形式の整数論、一般化球関数の観点からの研究

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1.符号(1+,q-)のシンプレクティック群Sp(1,q)上の保型形式の研究本年度当初は、計画通りこの保型形式に「原始テータ関数の理論」を整備することを目標にし、原始テータ関数の成す空間の次元公式を与えるところまで進んだ。しかし現時点での研究手法では、次の段階である原始テータ関数の空間のメタプレクティック表現の作用による分解を考えることには限界があると感じた。一方で、この保型形式の研究の更なる進展のためには、その具体的構成を考える必要があると感じ始めていた。そこで本年度途中より、昨年度まで研究していたSp(1,q)の上の四元数離散系列を生成する保型形式の研究に戻り、この保型形式の具体的構成を考えた。その結果、昨年度まで研究していたこの保型形式のフーリエ展開の理論を応用することで、楕円保型形式からこのSp(1,q)上の保型形式へのテータリフトによる構成、アイゼンシュタイン級数及びポアンカレ級数による構成を与えることができた。更に後者の2種類の保型形式が、四元数離散系列を生成する保型形式の空間全体を張ることを示すことができた。2.保型形式の次元公式への非中心的べき単元の寄与に関する研究本年度の目標は、非中心的べき単元の寄与が消えるという予想の証明の際問題となる和と積分の順序交換の問題を解決することであった。これは次元公式の各寄与が一般に絶対収束とは限らないことに起因する。そこでその解決のため、もっと一般の寄与に関し「非特異化」を与える必要があると考え、昨年6月27日から7月17日の間ダラム大学のバーナーホフマン氏を訪ねこの問題に関する研究討議を行った。その結果次元公式に現れる和を「ブリュワ-セル」に関する和に分解し、その各セルの寄与をアイゼンシュタイン級数の定数項で評価することで、非特異化の然るべき定義を探すというアイデアを得た。しかし、この表題の研究については今年度中の解決には至らなかった。