実複素配置空間と多角形のモジュライ

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実および複素射影直線上の点の配置空間と多角形のモジュライの研究に関して、今年度は射影直線を一般の複素曲線に拡張した場合の研究を行った。実射影直線上の点の配置空間が複素射影直線上の点の配置空間に自然にその実部として含まれていることを、一般の種数の場合に拡張するとき、複素曲線の実部を考えると一般には特異点をもつため、自然な一般化とは考えにくい。しかし、実射影直線上の点の配置空間とユークリッド平面内の多角形のモジュライ空間との同一視を通すことにより、実射影直線上の点の配置は、対応する平面の多角形のダブルをとって複素射影直線すなわち2次元球面の二つの多角形による分割を与え、球面の錐点をもつユークリッド構造とみなすことができる。一方、一般種数の点付きリーマン面のモジュライ空間は、通常その上の双曲構造のモジュライと同型であるが、Troyanovの結果により、錐状特異点をもつユークリッド構造のモジュライと同一視される。従って、多角形のモジュライ空間は、一般種数のリーマン面のモジュライ空間へユークリッド錐構造として自然な拡張をもつことを見い出した。また、点付きリーマン面のモジュライを含むリーマン面の2次微分のモジュライ空間の研究、またそれに附随するリーマン面のモジュライ空間に埋め込まれるTeichmuller曲線の研究との関連を見い出した。