ニュートン法の重根に二次収束する初期値の構造とその応用

牛顿法二次收敛到多重根的初值结构及其应用

• 批准号: 14740088
• 负责人: 山岸 義和
• 金额: $ 1.98万
• 依托单位: Ryukoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2002
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2002 至 2004
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-14740088/
• 关键词: 重根; Durand-Kerner法; Newton法; 田辺法; ニュートン法; 二次収束

本研究の主題は、高次元ニュートン法における重根を、固定不定点として力学系の観点から調べることである。重根であるから、十分近い初期値を与えれば重根への収束が期待されるが、一方、不定点であるから、分母が消えるため、無限遠への爆発があるはずである。本研究によって、階数1の重根の近傍が3種類の部分集合に分かれ、重根に安定して収束する集合A,無限遠に爆発する集合B,重根に2次収束する集合Cが存在すること、そしてそれらの幾何学的構造が部分的に明らかとなった。今年度は、緩和パラメータつき2次元ニュートン法の重根のまわりの局所収束性について、とくに、重根に速く収束する初期値の集合の幾何学的構造に着目して研究した。緩和パラメータの設定は、力学系の摂動である。緩和パラメータを持たない場合、重根が階数1のニュートン法の力学系は超安定の方向を持ち、重根に2次収束する初期値の集合Cは、複素曲線とカントール集合との直積を原点でpinchしたものとして記述できる。緩和パラメータを持つ場合は、重根への2次収束は得られないが、1次収束ながら重根への収束が速い初期値の集合Cが存在する。緩和パラメータの設定により不定点が重根の近傍に存在するため、集合Cは多数のpinching pointを持つことがわかった。一般の2次元複素力学系の周期的不定点の場合についても、力学系を摂動した場合、安定多様体のカントール族の摂動が見られたが、今回の研究はその類似である。最後に、ジョージア工科大学K.Mischaikow教授を訪れて、成果発表を行い、今後の研究の発展の方向について議論した。

The main theme of this study is: high-dimensional method, multiple roots, fixed points, and mechanical system. Double root, very close to the initial value and double root In this study, the geometric structure of the three kinds of partial sets with multiple roots of order 1 is divided into two parts: the stable set A with multiple roots, the explosive set B with infinite roots, and the geometric structure C with multiple roots. This year, the geometric structure of the initial value of the set is studied in detail. Relaxation of settings, dynamics of the system In the case of relaxation, the mechanical system of the double root method with order 1 maintains the direction of superstability, the double root method with order 2 maintains the initial set C, and the double root method with order 2 maintains the origin of the direct product of the double prime curve. In the case of mitigation, the set C of initial values of the double root beam and the double root beam is present. Relaxation of the setting is not fixed point, multiple root and near existence, set C is not the majority of pinching point. In general, the periodic fixed point of two-dimensional complex mechanical system is not fixed, the dynamic system is not fixed, and the dynamic of stable multi-body is not fixed. The current research is similar. Finally, Professor K.Mischaikow of the University of Engineering visited us and discussed the progress of the research and the direction of future research.

项目成果

Yoshikazu Yamagishi: "Quadratically convergent initial values to a double root in Newton's method of two variables"Progress in Analysis, proceedings of the 3rd ISAAC Congress. 563-569 (2003)

Yoshikazu Yamagishi：“牛顿双变量方法中的二次收敛初始值到双根”分析进展，第三届 ISAAC 大会会议记录。

Yoshikazu Yamagishi: "On the local convergence of Newton's method to a multiple root"Journal of the Mathematical Society of Japan. 55・4. 897-908 (2003)

山岸义一：“论牛顿法对多重根的局部收敛性”日本数学会杂志55・4（2003）。