変換群の位相幾何学的研究

今年度は、昨年度に引き続き変換群に関する研究を行った。非コンパクト群の作用の不変量を構成することが当初の目的であったが、これを行うために、簡単な場合である(コンパクト)トーラス作用の不変量に関する研究を試みた。具体的には、GKMグラフと呼ばれるラベル付のグラフが定義できる変換群のクラスを調べた。この研究をやる上で重要な定理はGKMグラフから同変グラフコホモロジー環が定義でき、それと元の変換群の同変コホモロジー環が同型になるという定理である。この定理から、GKMグラフを研究する事は、変換群の不変量を研究することに直接つながっていると言うことができる。現在までにGuillemin-ZaraやMasuda-Panov等がこのグラフに関する研究を行ない、最も広いクラスで、トーラスグラフと呼ばれるグラフの同変グラフコホモロジー環構造をグラフの組み合わせ構造より定義できる環と同型であることを示した。これらの結果を受けて、今年度はハイパートーラスグラフと呼ばれるGKMグラフの新しいクラスを定義し、その同変グラフコホモロジーは組み合わせ的に記述できると言う結果を得ることが出来た。このクラスは、ハイパートーリックやトーリック多様体の余接バンドルより定義できるグラフを含むクラスになっている。また、今年度に行った考察により、ハイパートーラスグラフから、トーラスグラフの同変グラフコホモロジー環も得ることが出来そうである。これが上手くいけば、ハイパートーラスグラフは今までに知られている組み合わせ的に記述できたGKMグラフの全てのクラスを本質的に含むものであることがわかる。来年度以降はこの周辺をより深く研究し、非コンパクト群の作用の不変量を見つけるための手がかりにしていきたい。

今年度は、昨年度に引き続き変換群に関する研究を行った。非コンパクト群の作用の不変量を構成することが当初の目的であったが、これを行うために、簡単な場合である(コンパクト)トーラス作用の不変量に関する研究を試みた。具体的には、GKMグラフと呼ばれるラベル付のグラフが定義できる変換群のクラスを調べた。この研究をやる上で重要な定理はGKMグラフから同変グラフコホモロジー環が定義でき、それと元の変換群の同変コホモロジー環が同型になるという定理である。この定理から、GKMグラフを研究する事は、変換群の不変量を研究することに直接つながっていると言うことができる。現在までにGuillemin-ZaraやMasuda-Panov等がこのグラフに関する研究を行ない、最も広いクラスで、トーラスグラフと呼ばれるグラフの同変グラフコホモロジー環構造をグラフの組み合わせ構造より定義できる環と同型であることを示した。これらの結果を受けて、今年度はハイパートーラスグラフと呼ばれるGKMグラフの新しいクラスを定義し、その同変グラフコホモロジーは組み合わせ的に記述できると言う結果を得ることが出来た。このクラスは、ハイパートーリックやトーリック多様体の余接バンドルより定義できるグラフを含むクラスになっている。また、今年度に行った考察により、ハイパートーラスグラフから、トーラスグラフの同変グラフコホモロジー環も得ることが出来そうである。これが上手くいけば、ハイパートーラスグラフは今までに知られている組み合わせ的に記述できたGKMグラフの全てのクラスを本質的に含むものであることがわかる。来年度以降はこの周辺をより深く研究し、非コンパクト群の作用の不変量を見つけるための手がかりにしていきたい。