虚数乗法を持つアーベル多様体のL関数とモチーフ的コホモロジーの研究

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当研究は、リーマン・ゼータ関数の一般化である代数体上の代数多様体のL関数を、その多様体のモチーフ的コホモロジーとそのレギュレーター写像によって理解することを目的にしている。数論におけるさまざまな予想、たとえばバーチ・スウィナートン・ダイアー予想、テイト予想、ブロック・加藤予想などはこの視点で捉えられる。モチーフ的コホモロジーは代数的サイクルの一般化でもあり、代数多様体上の部分多様体やその上の関数によって定義される。したがって非常に特別な場合を除いてはその構造は分かっていない。当研究では虚数乗法を持つアーベル多様体、特にヤコビ多様体の場合にモチーフ的コホモロジーにL関数の性質を反映するような元を構成することを目標とするが、フェルマー型のアーベル多様体にそのような元を構成し、そのレギュレーターがある特殊関数の特殊値で書けることが分かった。ベイリンソン予想との関係は引き続き研究中である。昨年度に続き、局所体上の代数多様体のモチーフ的コホモロジーとそのレギュレーター写像についても研究を行った。特に、楕円曲線、またはその積のp進レギュレーター写像(モチーフ的コホモロジーのp進完備化からp進ホッヂ理論を通してド・ラーム・コホモロジーに定義される写像)の全射性に関する研究を行い進展を得た。この研究には、代数的サイクルや局所体上の曲線の類体論への応用がある。当研究を進めるために国内の研究集会等に参加し、専門家との交流を行った。特に山崎隆雄氏(筑波大学)、Andreas Langer氏(名古屋大学客員)、佐藤周友氏(名古屋大学)らと討論を行った。また、数値的な側面からも研究を進めるためにソフトウェアMathematicaを用いた計算も行った。