無限次元超リー代数の表現論およびその応用に関する研究

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本研究は、整数で次数づけられる無限次元超リー代数、特にN=1ヴィラソロ超代数やアフィン超リー代数の表現や構造、及びその超対称共形場の理論等への応用を主たる研究課題とする。本年度は、具体的には以下の研究を行った。1)神戸大学理学部の庵原氏との共同研究により、超リー代数のフェイギン・アルキポフ・ゾルゲル双対性を与える関手の構成した。更に、この双対性の具体的記述に必要となる臨界コサイクルを(N=1ヴィラソロ超代数を含む)物理的コンフォーマル超代数の場合に決定した。(結果はMath.Scand.誌に掲載予定)2)神戸大学理学部の庵原氏との共同研究により、ツイスト型のループ超代数の普遍中心拡大の決定に必要となる第2コホモロジーの計算を、昨年度までの共同研究で得られていた公式(今年度Math.Nach.誌に掲載)を用いて行った。なお、この計算結果によりアフィン超リー代数の具体的な実現が得られる。第2コホモロジーの計算は、有限次元単純超リー代数の各自己同型に対して必要であるが、現時点では一部の自己同型の場合の計算が完了していない。その部分は、来年度の共同研究に引き継ぐ予定である。3)福井大学工学部の大学院生の笹島氏との共同研究により、特殊線形超リー代数のヴァーマ加群の特異ベクトルの超リー代数の要素の複素数べきを用いた公式を与え、更にその特異ベクトルのヴァーマ加群の基底を用いる表示を行った。