曲面の運動方程式に由来する特異放物型方程式の解析

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昨年度の研究に引き続き放物型方程式の解の比較原理について考察しました。放物型方程式の強比較原理とは以下が成立する事です。考える方程式に対して、劣解と優解が与えられており劣解の値は優解の値以下である事が分かっている状況であるとします。もし、劣解と優解の値が方程式を考察している領域の内点で一致するならば、実は劣解と優解は劣解と優解が一致した場所と時刻に関して以下の事実が成立します。第一に、一致した時刻を止めた時に一致した場所を含む連結な平面上で劣解と優解が一致することが分かり、第二に、一致した場所を止めた時に一致した時刻を含む時刻減少方向の連続な直線上で劣解と優解が一致することが分かります。言い換えると劣解と優解が一致した場合は空間変数に関してはその一致状況が伝播し、時間変数に関しては時刻が減少する方向に伝播するということです。これは楕円型の強比較原理での劣解と優解の一致集合が領域全体と一致するという原理とは異なります。放物型方程式の強比較原理も解の一意性を示す場合に非常に強力な道具となります。楕円型方程式については非線形偏微分方程式の場合に部分積分を元に定義される弱解でも多くの研究結果がありますが、放物型方程式についてはあまり研究結果がありません。粘性解という弱解を用いた場合もその様な研究結果は無いと思います。我々は一般の放物型方程式を考えるために、その典型例である曲面がグラフで表されている場合の平均曲率流方程式を考察しました。この方程式には変分構造がないので部分積分を元に定義された弱解では考察することができません。研究結果として上半連続な粘性劣解と下半連続な粘性優解について強比較原理が成立することを証明しました。