クエンチング問題に対する粘性解による解析

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本年度の実施計画はクエンチング現象を起こす放物型方程式の解の性質を調べる事でした。特に初期値がグラフで表されるならば時間発展した解もグラフであり続けるかを示すことが目標でした。昨年度までの研究でクエンチング現象を起こす放物型方程式の等高面方程式に対しては粘性解を用いて解の時間大域的一意存在を証明しています。この解を用いて元の問題であるクエンチング現象を起こす放物型方程式の解を定義します。解は上記等高面方程式のゼロレベル面として定義していますので解がグラフであるという事は解の折り返しが起こらない事を意味しています。解の値が増加する方向をr軸とすると、解の折り返しが起こる事はr軸方向に解の値を見るときゼロの値をとる場所が複数回現れる事を意味します。目標はその現象が起こらない事を示すことですので解がr方向に単調増加である事を示せばいい事になります。そのために等高面方程式をrで微分して解をr方向に微分した関数の性質について調べました。結論としては解がr方向に単調増加である事は分かりました。しかしながら、解のr方向への単調増加性は分かりましたがそれが狭義単調増加であるかどうかは不明のままです。これが示せないと解の値がある場所ではr軸方向に一定値である可能性も排除出来ません。つまり、初期値は連続なグラフであっても時間発展した解はグラフではあるが連続かどうかは保証されなくなります。この問題点の解決は今後の課題です。また、本年度は同時進行で楕円型方程式の粘性解に対する強比較定理について研究してきました。具体的にはラプラス方程式や極小曲面方程式、pラプラス方程式に対して粘性解の強比較定理が成立する事を確認しました。