Alexander多項式の解析的オブジェクトとしての性質の研究

私の研究課題はAlexander多項式における解析的性質の研究である.この研究は私が行ってきたAlexander多項式をLefschetzゼータ関数という力学系ゼータ関数に翻訳することによって性質を調べる手法をさらに推し進めていくものである.初年度にあたる平成16年度は計画どおりにLefschetzゼータ関数の零点の研究をとおしてAlexander多項式の零点の研究をした.この結果,Alexander多項式の零点のp進数論的振る舞いが,ある力学系のエントロピーの情報を与えていることが解明された.このことは一般的に力学系ゼータ関数と呼ばれるゼータ関数の零点がエントロピーの情報を与えているとされる事実と符合し,Alexander多項式をLefschetzゼータ関数と見なす視点が有効に働くということが確認された.この零点とエントロピーの関係は単にAlexander多項式にゼータ関数としての正当性を与えるだけではなく,以下の2つの応用を導いた.1つは結び目の上で分岐する3次元球面のr重巡回被覆空間に対する1次のホモロジーの位数の指数的増大性をAlexander多項式の零点を使って明示的に記述した。この増大性の問題はGordonに始まりRiley, Gonzalez-Acuna and Shortといった人たちによって研究されてきたもので,今回の研究はそれを引き継ぐものである.もう一つはAlexander多項式の最高次の係数も同様にある種のエントロピーであって,その零点によって明示的に記述することが出来た.Alexander多項式はAlexander加群が有限生成かどうかを判別するという重要な因子であるとされている.しかしこの研究を通じて,この有限性に対する障害は零点の分布によって引き起こされ,最高次の係数はそれらの和になっていることが解明された.

私の研究課題はAlexander多項式における解析的性質の研究である.この研究は私が行ってきたAlexander多項式をLefschetzゼータ関数という力学系ゼータ関数に翻訳することによって性質を調べる手法をさらに推し進めていくものである.初年度にあたる平成16年度は計画どおりにLefschetzゼータ関数の零点の研究をとおしてAlexander多項式の零点の研究をした.この結果,Alexander多項式の零点のp進数論的振る舞いが,ある力学系のエントロピーの情報を与えていることが解明された.このことは一般的に力学系ゼータ関数と呼ばれるゼータ関数の零点がエントロピーの情報を与えているとされる事実と符合し,Alexander多項式をLefschetzゼータ関数と見なす視点が有効に働くということが確認された.この零点とエントロピーの関係は単にAlexander多項式にゼータ関数としての正当性を与えるだけではなく,以下の2つの応用を導いた.1つは結び目の上で分岐する3次元球面のr重巡回被覆空間に対する1次のホモロジーの位数の指数的増大性をAlexander多項式の零点を使って明示的に記述した。この増大性の問題はGordonに始まりRiley, Gonzalez-Acuna and Shortといった人たちによって研究されてきたもので,今回の研究はそれを引き継ぐものである.もう一つはAlexander多項式の最高次の係数も同様にある種のエントロピーであって,その零点によって明示的に記述することが出来た.Alexander多項式はAlexander加群が有限生成かどうかを判別するという重要な因子であるとされている.しかしこの研究を通じて,この有限性に対する障害は零点の分布によって引き起こされ,最高次の係数はそれらの和になっていることが解明された.