モジュライ空間の幾何学的対応からみる量子可積分系の研究

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モジュライ空間として,ラグランジアン・グラスマン多様体を考える. そのトーラス作用に関する同変コホモロジー環において,同変シューベルト類を具体的に記述する成果が得られた(この結果は実質的には平成18年度に得られているが,論文の出版は19年度である).この結果をきっかけとしていくつかの方向へと研究は発展した.まず第1に,成瀬弘氏との共同で,直交型グラスマンへの一般化が得られている(プレプリント).そのなかで,シューベルト多様体の特異点における重複度の組合わせ論的公式が得られた.これから重複度がパッフィアンの構造を持つことなどがしたがう.この結果はまた,ジャンベリ型の公式,同変コホモロジーの環としての表示などを導く.第2の方向として,量子同変コホモロジー環の記述が得られた(東北大の秋期総合分科会で講演),それと同時期に,コミニュスキュール型の旗多様体を関する同変重複度の公式に関して得られた結果も発表した.次に,第3の発展として,シンプレクティック型,あるいは直交型の旗多様体を考える.極大トーラスに関する同変コホモロジー環においで,幾何学的対応に基づいて二組の差分商作用素が定まる,同変シューベルトを特徴付ける無限系列の差分商方程式の解として二重シューベルト多項式を発見した.この結果はL.Mihalceaと成瀬弘との共同研究による.この多項式は組合わせ論,表現論,代数幾何学,トポロジーなどの各分野において多様な興味をひく対象であり,さまざまな分野の集会において発表した.