ランダム力学系の研究とその応用

今年度は以下の2つの課題について研究した。第1の課題は2次元の線形のランダムな力学系のリヤプーノフ指数の分離についての研究で、2次元の特殊性でこの系は常にシンプレクティク構造を持つ力学系に変形できることを使い、系が1つのパラメータに依存するとき、そのほとんどすべてのパラメータについて一般的な条件の下でリヤプーノブ指数が分離することを示した。これをある欧文雑誰に投稿したが、残念なことに掲載されなかった。第2の課題は、1次元のランダムポテンシャルを持ったシュレーディンガー方程式を有限区間で境界条件の下で考えたときの固有値の、区間を無限にしたときの極限分布についての研究である。これについて個々の固有値については、ポテンシャルがブラウン運動または増大する複合ポアソン過程の微分の場合に極限分布を得ることができた。ブラウン運動の微分の場合には先行結果があるものの、増大するポアソン過程の場合には新しい結果である。1980年代の初頭にMolchanov等がこの場合に結合分布も含めて極限定理をCMPに発表しているが、その証明には重大な誤りがあることを発見した。結合分布について正しい結果を得ることについて研究を進め、結合分布を特徴付ける方程式を得た。この間、2007年の夏には1ヵ月半ベトナム国立大学ハノイ校のN.H.Du教授を訪問し、研究交流を持った。またこの方面の研究者である南慶応大学教授、Boumaza学振特別研究員の來阪の受け、この分野について研究交流した。

今年度は以下の2つの課題について研究した。第1の課題は2次元の線形のランダムな力学系のリヤプーノフ指数の分離についての研究で、2次元の特殊性でこの系は常にシンプレクティク構造を持つ力学系に変形できることを使い、系が1つのパラメータに依存するとき、そのほとんどすべてのパラメータについて一般的な条件の下でリヤプーノブ指数が分離することを示した。これをある欧文雑誰に投稿したが、残念なことに掲載されなかった。第2の課題は、1次元のランダムポテンシャルを持ったシュレーディンガー方程式を有限区間で境界条件の下で考えたときの固有値の、区間を無限にしたときの極限分布についての研究である。これについて個々の固有値については、ポテンシャルがブラウン運動または増大する複合ポアソン過程の微分の場合に極限分布を得ることができた。ブラウン運動の微分の場合には先行結果があるものの、増大するポアソン過程の場合には新しい結果である。1980年代の初頭にMolchanov等がこの場合に結合分布も含めて極限定理をCMPに発表しているが、その証明には重大な誤りがあることを発見した。結合分布について正しい結果を得ることについて研究を進め、結合分布を特徴付ける方程式を得た。この間、2007年の夏には1ヵ月半ベトナム国立大学ハノイ校のN.H.Du教授を訪問し、研究交流を持った。またこの方面の研究者である南慶応大学教授、Boumaza学振特別研究員の來阪の受け、この分野について研究交流した。