多変量解析に関する特異ランダム行列の固有値分布論の新展開

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変数の数がサンプルサイズを上回る状況で，球形検定と呼ばれる分散共分散行列に関する検定問題を扱った． 球形検定は古くから研究されており，通常，尤度比統計量の漸近分布を利用した検定が行われる．しかし，変数の数がサンプルサイズを上回る場合，標本共分散行列が特異行列になるため，尤度比統計量の構成が行えない. 本研究課題では，特異ウィシャート行列の最大固有値と最小固有値の比を新たな統計量として提案し，この統計量の正確分布の導出を行った. さらに，正確分布の数値計算を行うために，ゾーナル多項式の積をゾーナル多項式の線形和で展開するアルゴリズムを提案した．関連研究として，多変量分散分析の代表的な統計量であるRoyの最大固有値統計量を扱った．Royの統計量は，帰無分布に対しては効率の良い正確計算法が知られている．一方，対立仮説のもとでの分布に関しては，近似分布が知られているが，変数の数が大きくなるにつれ近似は悪くなる．本研究では，特異ベータ行列の固有値の同時密度関数から対立仮説のもとでのRoyの最大固有値統計量の分布を導出し，ゾーナル多項式の積計算アルゴリズムを使って分布の正確計算が行えることを示した.さらに，非心行列のランクが1の場合において，組み合わせ論で有名なPieriの公式を用いた効率の良い正確計算法を提案した.