微分同相群の群論的性質及び力学系的性質の研究

点击翻译按钮获取中文摘要

今年度は多様体の同相群の部分群に関する以下の二つの話題について研究した.1.1次元多様体の微分同相群と余次元1葉層の葉の周期性円周などの1次元多様体の微分同相群を研究する目的の一つは,余次元1葉層の葉に横断的な方向の力学系を理解することである.今年度は,閉区間の向きを保つC^2級微分同相のなす有限生成群の固定点集合の境界の各点がこの群の正規化群に含まれる向きを保つC^2級微分同相により固定されることを証明した.これはDruckとFirmoによる問の肯定的な解決である.また,この結果の応用として,コンパクト多様体の横断的に向き付けられた余次元1葉層を保つC^2級微分同相に関して.コンパクトな葉全体の集合の境界に属する葉が周期的であるという事実が従う.この事実は,almost without holonomyな葉層に対してはDruckとFirmoにより証明されていた.2.同相群の部分群が大域的固定点を持つための条件円周の同相群の部分群が大域的固定点を持つことと任意の2元が共通の固定点を持つことが同値であることが知られていた.今年度は,2次元以上の多様体の同相群に対して同様の事実は一般には成り立たないことを指摘した.特に,閉曲面の保測微分同相群の部分群であって,任意の2元が共通の固定点を持つが大域的固定点が存在しないものを構成した.また,この例に触発され,位相空間に対して「固定点階数」という位相不変量を定義した.この量は,空間への群作用に対する大域的固定点の存在しやすさを表していて,空間の対称性の豊かさを測る一つの尺度である.また,2つの有限集合の包含関係の大小とそれらの固定点階数の大小が逆転する例を見出した.