ヒルベルト空間における弱収束理論と統計解析への応用

点击翻译按钮获取中文摘要

当該年度は(1)変化点問題に関連した確率場の弱収束とその検定への応用，(2)確率分割に関連した確率場の弱収束である汎関数中心極限定理，という2つのトピックを取り上げて研究を行った．(1)確率過程の変化点検定変化点検定を取り扱った既存研究の一つに，申請者らによる独立データの変化点問題に関して，ヒルベルト空間の弱収束理論を用いて検定統計量の分布収束を示すために推定方程式に関連した重み付きの確率場のL2空間における分布収束を示した，という研究がある．当該年度の研究では自然な流れとして，この先行研究で仮定していた独立性を仮定せず，より一般的なマルチンゲールである連続時間及び離散時間の確率過程を取り扱って対応する確率場の分布収束を示した上で，それを先述した検定に応用した．更に，具体的なモデルとして，エルゴード的な拡散過程及びエルゴード的な非線形時系列モデルを取り扱った．(2)ランダム組み合わせ構造に関するL2空間における汎関数中心極限定理確率分割に関するスコロホッド空間における汎関数中心極限定理は，まず具体的な問題に対して直接的な方法で証明された後，カップリングによるポアソン過程近似を経由した証明がなされた．そして，ポアソン過程近似が一般的な構造へ拡張された．本研究ではまず具体的な問題として，確率分割における重要な例であるthe Ewens sampling formulaとrandom mappingsによる分割を考え，そのcomponent countsのある次元までの部分和を適当に基準化した確率場があるガウス場へ弱収束するという，これまでランダム組み合わせ構造においては証明されてこなかったタイプのL2空間における重み付きの汎関数中心極限定理を証明した．