多重分岐曲面の３次元多様体への埋め込み（グラフ理論と３次元多様体論の融合）

将多分支曲面嵌入3D流形（图论与3D流形理论的融合）

基本信息

批准号：
17K05262
负责人：
小沢誠
金额：
$ 2.83万
依托单位：
Komazawa University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2017
资助国家：
日本
起止时间：
2017-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

2022年度は、メキシコ国立自治大学数学研究所に在外研究で訪問した。研究課題に従い「どの多重分岐曲面が３次元球面に埋め込み可能か？」について研究を続けていたが、３次元球面に埋め込みできない多重分岐曲面は臨界的な複体を含むことが分かり、研究の方向性は臨界的複体へシフトした。まず、K_5×S^1及びK_{3,3}×S^1-familiesに含まれる全ての臨界的複体を決定した。より一般的に、GとHをグラフとしたとき、(G×S^1)∪Hの形を持つ臨界的複体を特徴付けた。この定理は、クラトフスキーの定理を本質的に証明に用いており、正しく研究課題の副題である「グラフ理論と３次元多様体論の融合」を実現している。これらの例のように、一般に「複体がもし3次元球面に埋め込めないならば、それは臨界的複体を含む」（性質C）と予想される。しかしながら、この性質を満たさない複体が存在することが分かった。それらの複体は、3次元球面に埋め込めない任意の部分複体は、元の複体と同相な複体を含むという性質を持つ。このことから、二つの複体が同値であることを、それらの複体が互いに埋め込み可能であると定義した。この同値関係の下、包含関係により、自然に半順序集合が得られ、臨界的であることの再定義ができる。上記の性質Cは、再定義された臨界的複体について、2次元の場合に成り立つことを示した。

2022年，我访问了墨西哥国家自治大学数学研究所进行海外研究。在研究主题之后，我继续研究“哪些分支表面可以嵌入三维球形表面？”，但是发现多个不能嵌入三维球形表面的分支表面包含关键的复合物，以及研究的方向转移到关键的复合物中。首先，确定了K_5×S^1中包含的所有关键复合物，并确定K_ {3,3}×S^1家族。更一般而言，当G和H绘制G时，我们表征了具有形状（G×S^1）∪H的关键复合物。该定理本质上使用Kratovsky的定理进行证明，并正确地意识到了研究主题的字幕，“图理论的融合和三维流形理论”。与这些示例一样，通常可以预期“如果一个复合物不能嵌入三维球体，则包含一个关键的复合物”（属性C）。但是，已经发现有一些复合物无法满足此属性。这些复合物具有无法嵌入三维球体中的任何部分复合物包含与原始复合物相相的复合物。由此，可以确定两个复合物是能够相互嵌入的值。在这种等价关系下，包容关系自然提供了部分有序的集合，从而重新定义了关键。在二维情况下，已显示上述属性C可用于重新定义的临界复合物。