圧縮性流体に対する数学的手法の構築と他の方程式への応用

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本研究は、気体の運動を表す流体力学の基礎方程式である、圧縮性オイラー方程式を数学的に扱っている。この方程式に対して、大きな初期値に対する解の減衰評価の研究と、時間周期外力を与えた時の時間周期解の存在について研究をおこなった。前者は、大きな初期値に対して、不変領域の手法を用いて、グローバルアトラクターの存在を示した。グローバルアトラクターというのは、十分時間が経つと解が吸引される領域のことである。結果的に解の減衰評価も得る事ができた。大きな初期値に関する解の減衰評価は、半世紀近い間未解決の問題であった。既存の結果は、定数に微小は摂動を加えた場合に、解がその定数に収束するというものであった。本研究は、不変領域を用いて、既存の結果とは異なる手法を用いている。この研究に関する論文は、現在投稿中であり、その内容は岩手大学と岐阜大学において発表を行った。後者は、時間周期的な外力を与えて、それと同じ周期の解の存在を示すものである。この証明には、上述した解の減衰評価が不可欠である。しかしながら、減衰評価が殆ど得られていないため、周期解の存在の研究も殆ど進展は見られなかった。本研究は、得られた減衰評価と用いて、時間周期解の存在を示すものである。しかしながら、周期解の存在を示すときの特に不動点定理を用いるときに、エネルギーの一様評価を仮定せざるを得ず、それがこれからの改善点である。この研究はArch. Ration. Mech. Anal. に掲載されている。