非線型方程式の理想境界

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境界上の連続関数のDirichlet問題の解が境界まで連続に延びるとき領域は正則であると言われる.正則領域はWiener条件で完全に特徴付けられている.そこで,境界上に連続より良い関数を与えたとき,そのDirichlet解が境界まで同じ連続性を持って延びるかどうかを考えることは自然であろう.以前の論文ではHolder連続性を扱っていたが,それを拡張し,より一般の凹性と単調性で特徴付けられる連続率について研究した.これは対数巾を含み,最近のKlein群の不変成分に関するRiemann写像の志賀による研究:Riemann mappings of invariant components of Kleinian groups, J.London Math.Soc.(2)80(2009),716-728と密接な関係がある.志賀は単位開円板のCauchy核の具体的表示を用いていたが,ここでは容量を用いた定性的な性質を活用し,平面領域に限らず,高次元の場合にまで拡張した.Martin境界の研究は数多いが,極小細位相の決定まで踏み込んだ論文は少ない.極小細位相と関係の深いBeurlingの最小値原理を一様領域の上で考察した.これは境界Harnack原理やWhitney分解に関する容量の擬加法性に基づくもので(優)調和関数の理想境界の近くでの境界挙動をより精密に表現するものである.基本的な不等式であるHardyの不等式と容量密度条件の関係がAnconaにより明らかにされ,その応用としてWhitney分解に付随するNewton容量によるWiener型条件によって極小細位相を特徴付けた.この結果によりMartin境界と元の領域との接続状況がより明瞭になった.