RO(G)同変な加法的なそして非可換幾何学的な問題におけるモティヴィック不変量

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2012年度は,2011年度に導入したブレドン型の同変モティヴィックコホモロジーの研究を引き続き行った。はじめに,ヴォエヴォドスキーによる移送付き前層の枠組みを,同変の場合に拡張した.ここでは同変とは$\mathbb{Z}/2$同変を意味する。このために同変ニスネヴィッチ位相を導入しなけれはならない。これは,完備正則なcd構造として与えられる。また,同変標準三つ組$(\overline{X}\xto{p}S, X_\infty, Z)$を導入した。ここで,$p$は相対次元1の固有な同変写像,$X_\infty$, $Z$は不変な部分スキームであって,$S$はスムース,$X$は正規,$X=\overline{X}\setminus X_\infty$は準アフィンかつ$S$上スムース,$Z\cap X_\infty=\emptyset$,そして$X_\infty \cup Z$は同変なアフィン近傍を持つものとする。主定理は,任意のスムースな$G$スキームは,局所的には同変標準三つ組の一部である,というものである。これはヴォエヴォドスキーの定理の同変な場合への一般化である。また,同変三つ組がホモトピー不変な同変移送付き前層について,ヴォエヴォドスキーの場合と同様の性質をもつことを示した。同変でない場合の定理の拡張として,$F$をホモトピー不変な同変移送付き前層,$W$を1次元表現とするとき,$(F_{GNis})_{(-W)}(S)=(F_{(-W)})_{GNis}(S)$が成立することを示した。ここに$S$はスムースな半局所$G$スキームである。最終的な結果として,$\mathbb{Z}$-同変簡約定理を示した。この定理は,$X,Y$をスムースな$\mathbb{Z}/2$多様体とするとき,射$Z \to Z \otimes I$により誘導される単体的可換群の準同型\[C_*c(X,Y) \to C_*c(X_+\wedge \mathbb{G}_m,Y_+\wedge \mathbb{G}_m)\]は同変ホモトピー同値であることをいう。この同変ホモトピー同値は,$G$が巡回群の場合に拡張できる。これを示すために,任意の部分群$K \subset G$に対し\[C_*c(X,Y)^K \to C_*c(X_+\wedge \mathbb{G}_m, Y_+\wedge \mathbb{G}_m)^K\]が単体的可換群のホモトピー同値であることを証明した。ここで,$c(X,Y)$は$c_{equi}(Y,O)(X)=Cor(X,Y)$を意味する。結果として,任意のスムース$G$多様体$X$に対し,\[\mathbb{H}_G^n(X; C_*c_{equi}(Y,O)^G) =\mathbb{H}_G^n(X \wedge \mathbb{G}_m; C_*c_{equi}(Y \wedge \mathbb{G}_m, O)^G) \]であることが示される。これらの結果は,フリードランダー,ヘラー,オストヴァーとの共同研究により得られた。